2. 考研
  3. 设二次型 f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22－2x32+2bx1x3，(b＞0) 其中A的特征值之和为1，特征值之积为－12． (1)求a，b． (2)用正交变换化f(x1，x2，x3)为标准型．

设二次型 f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22－2x32+2bx1x3，(b＞0) 其中A的特征值之和为1，特征值之积为－12． (1)求a，b． (2)用正交变换化f(x1，x2，x3)为标准型．

admin2021-11-09  58
问题 设二次型
f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22－2x32+2bx1x3，(b＞0)
其中A的特征值之和为1，特征值之积为－12．
(1)求a，b．
(2)用正交变换化f(x1，x2，x3)为标准型．
选项
答案(1) [*] 由条件知，A的特征值之和为1，即a+2+(－2)=1，得a=1． 特征值之积=－12，即｜A｜=－12，而 [*] 得b=2(b＞0)．则 [*] (2) [*] 得A的特征值为2(二重)和－3(一重)． 对特征值2求两个单位正交的特征向量，即(A－E)X=0的非零解． [*] 得(A－2E)X=0的同解方程组x1－2x3=0，求出基础解系η1=(0，1，0)T，η2=(2，0，1)T．它们正交，单位化：α1=η1，α2=[*]． 方程x1－2x3=0的系数向量(1，0，－2)T和η1，η2都正交，是属于－3的一个特征向量，单位化得 [*] 作正交矩阵Q=(α1，α2，α3)，则 [*] 作正交变换X=QY，则它把f化为Y的二次型f=2y12+2y22－3y32．
解析
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考研数学二

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