设α1，α2，…，αm均为n维向量，那么下列结论正确的是( )．

admin2020-06-05 61

问题设α₁，α₂，…，α_m均为n维向量，那么下列结论正确的是( )．

选项 A、若k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_mα_m＝0，则α₁，α₂，…，α_m线性相关
B、若对任意一组不为零的数k₁，k₂，…，k_m，都有k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_mα_m≠0，则α₁，α₂，…，α_m线性无关
C、若α₁，α₂，…，α_m线性相关，则对任意一组不全为零的数k₁，k₂，…，k_m，都有k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_mα_m＝0
D、若0α₁＋0α₂＋…＋0α_m＝0，则α₁，α₂，…，α_m线性无关

答案B

解析方法一
对照线性相关的定义，选项(A)，(D)显然不正确，(A)中缺条件“k₁，k₂，…，k_m不全为零”；而(D)是一个恒等式，不管向量组α₁，α₂，…，α_m线性相关与否均成立．对于选项(C)，若α₁，α₂，…，α_m线性相关，则存在一组不全为零的数k₁，k₂，…，k_m，使得x₁α₁＋x₂α₂＋…＋x_mα_m＝0．但这不能说明任意一组不全为零的数k₁，k₂，…，k_m，都有x₁α₁＋x₂α₂＋…＋x_mα_m＝0，故(C) 不正确．故而应选(B)．
方法二
命题“若对任意一组不为零的数k₁，k₂，…，k_m，都有k₁α₁＋k₂α₂＋…＋k_mα_m≠0”的逆否
命题为“如果x₁α₁＋x₂α₂＋…＋x_mα_m＝0，那么k₁，k₂，…，k_m全为零”，也就是“α₁，α₂，…，α_m
线性无关”．故(B)入选．

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考研数学一

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