2. 考研
  3. 设微分方程xf”(x)－f’(x)＝2x． (I)求上述微分方程的通解； (Ⅱ)求得的解在x＝0处是否连续?若不是，能否对每一个解补充定义，使其在x＝0处连续，并讨论补充定义后的f(x)在x＝0处的f’(0)及f”(0)的存在性，要求写出推理过程．

设微分方程xf”(x)－f’(x)＝2x． (I)求上述微分方程的通解； (Ⅱ)求得的解在x＝0处是否连续?若不是，能否对每一个解补充定义，使其在x＝0处连续，并讨论补充定义后的f(x)在x＝0处的f’(0)及f”(0)的存在性，要求写出推理过程．

admin2018-12-21  98
问题 设微分方程xf”(x)－f’(x)＝2x．
(I)求上述微分方程的通解；
(Ⅱ)求得的解在x＝0处是否连续?若不是，能否对每一个解补充定义，使其在x＝0处连续，并讨论补充定义后的f(x)在x＝0处的f’(0)及f”(0)的存在性，要求写出推理过程．
选项
答案(I)当x≠0时，原微分方程可改写为 f”(x)＝－[*]f’(x)＝2． 由通解公式，有 [*] 所以f(x)﹦∫2xln︱x︱dx±[*]x2﹢C2 ﹦∫ln︱x︱d(x2)±[*]x2﹢C2 ﹦x2ln︱x︱﹣∫[*]x2﹢C2 ﹦x2ln︱x︱﹣[*]x2﹢C2 ﹦x2ln︱x︱﹢[*]x2﹢C2，x≠0， 其中[*]与C2为任意常数． (Ⅱ)又因为[*]x2ln｜x｜＝0，对每一个解补充定义f(0)＝C2后，有 [*] 其中[*]ln｜x｜＝－∞．所以f”(0)不存在．
解析
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考研数学二

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