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设微分方程xf”(x)-f’(x)=2x. (I)求上述微分方程的通解; (Ⅱ)求得的解在x=0处是否连续?若不是,能否对每一个解补充定义,使其在x=0处连续,并讨论补充定义后的f(x)在x=0处的f’(0)及f”(0)的存在性,要求写出推理过程.
设微分方程xf”(x)-f’(x)=2x. (I)求上述微分方程的通解; (Ⅱ)求得的解在x=0处是否连续?若不是,能否对每一个解补充定义,使其在x=0处连续,并讨论补充定义后的f(x)在x=0处的f’(0)及f”(0)的存在性,要求写出推理过程.
admin
2018-12-21
60
问题
设微分方程xf
”
(x)-f
’
(x)=2x.
(I)求上述微分方程的通解;
(Ⅱ)求得的解在x=0处是否连续?若不是,能否对每一个解补充定义,使其在x=0处连续,并讨论补充定义后的f(x)在x=0处的f
’
(0)及f
”
(0)的存在性,要求写出推理过程.
选项
答案
(I)当x≠0时,原微分方程可改写为 f
”
(x)=-[*]f
’
(x)=2. 由通解公式,有 [*] 所以f(x)﹦∫2xln︱x︱dx±[*]x
2
﹢C
2
﹦∫ln︱x︱d(x
2
)±[*]x
2
﹢C
2
﹦x
2
ln︱x︱﹣∫[*]x
2
﹢C
2
﹦x
2
ln︱x︱﹣[*]x
2
﹢C
2
﹦x
2
ln︱x︱﹢[*]x
2
﹢C
2
,x≠0, 其中[*]与C
2
为任意常数. (Ⅱ)又因为[*]x
2
ln|x|=0,对每一个解补充定义f(0)=C
2
后,有 [*] 其中[*]ln|x|=-∞.所以f
”
(0)不存在.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/aAj4777K
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考研数学二
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