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设函数f(x)在[0,+∞)内二阶可导,且x∈(0,+∞)都有f"(x)≠0,过曲线y=f(x)(0<x<+∞)上的任意一点(x0,f(x0))作切线,证明:除切点外,该切线与曲线y=f(x)无交点。
设函数f(x)在[0,+∞)内二阶可导,且x∈(0,+∞)都有f"(x)≠0,过曲线y=f(x)(0<x<+∞)上的任意一点(x0,f(x0))作切线,证明:除切点外,该切线与曲线y=f(x)无交点。
admin
2022-03-23
68
问题
设函数f(x)在[0,+∞)内二阶可导,且
x∈(0,+∞)都有f"(x)≠0,过曲线y=f(x)(0<x<+∞)上的任意一点(x
0
,f(x
0
))作切线,证明:除切点外,该切线与曲线y=f(x)无交点。
选项
答案
方法一 反证法,假设以点(x
0
,f(x
0
))为切点的切线与曲线y=f(x)交于(x
1
,f(x
1
))且x
0
≠x
1
,在[x
0
,x
1
](或[x
1
,x
0
])上用拉格朗日中值定理,[*]ξ
1
∈(x
0
,x
1
)(或(x
1
,x
0
)),使得 [*]=f’(ξ
1
)=f’(x
0
) 由罗尔定理知,存在ξ
2
∈(0,ξ
1
)(或(ξ
1
,x
0
)),使得f"(ξ
2
)=0,矛盾。 方法二 不妨设f"(x)>0,设F(x)=f(x)-[f(x
0
)+f’(x
0
)(x-x
0
)],则有 F’(x)=f’(x)-f’(x
0
),F”(x)=f"(x)>0 而F’(x
0
)=0,所以当x>x
0
时,F’(x)>0,当x<x
0
时,F’(x)<0,因此x=x
0
为F(x)的最小值点,F(x)>F(x
0
)=0(x≠x
0
),即 f(x)>f(x
0
)+f’(x
0
)(x-x
0
),[*]x∈(0,+∞)且x≠x
0
因此切线与曲线除切点外不相交。 其实f"(x)≠0说明曲线y=f(x)是凹的或者是凸的,欲证明y=f(x)和y=f(x
0
)+f’(x
0
)(x-x
0
)除切点外不相交,即证它们的差除切点外没有零点。
解析
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考研数学三
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