2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0,+∞)内二阶可导，且x∈(0,+∞)都有f"(x)≠0,过曲线y=f(x)(0＜x＜+∞)上的任意一点(x0，f(x0))作切线，证明：除切点外，该切线与曲线y=f(x)无交点。

设函数f(x)在[0,+∞)内二阶可导，且x∈(0,+∞)都有f"(x)≠0,过曲线y=f(x)(0＜x＜+∞)上的任意一点(x0，f(x0))作切线，证明：除切点外，该切线与曲线y=f(x)无交点。

admin2022-03-23  52
问题 设函数f(x)在[0,+∞)内二阶可导，且x∈(0,+∞)都有f"(x)≠0,过曲线y=f(x)(0＜x＜+∞)上的任意一点(x0，f(x0))作切线，证明：除切点外，该切线与曲线y=f(x)无交点。
选项
答案方法一 反证法，假设以点(x0，f(x0))为切点的切线与曲线y=f(x)交于(x1，f(x1))且x0≠x1,在[x0，x1](或[x1，x0])上用拉格朗日中值定理，[*]ξ1∈（x0，x1)(或(x1，x0))，使得 [*]=f’(ξ1)=f’(x0) 由罗尔定理知，存在ξ2∈(0,ξ1)(或(ξ1，x0)),使得f"(ξ2)=0,矛盾。 方法二 不妨设f"(x)＞0,设F(x)=f(x)－[f(x0)+f’(x0)(x－x0)],则有 F’(x)=f’(x)－f’(x0），F”(x)=f"(x)＞0 而F’(x0)=0,所以当x＞x0时，F’(x)＞0,当x＜x0时，F’(x)＜0,因此x=x0为F(x)的最小值点，F(x)＞F(x0）=0（x≠x0），即 f(x)＞f(x0）+f’(x0）（x－x0），[*]x∈(0,+∞)且x≠x0 因此切线与曲线除切点外不相交。 其实f"(x)≠0说明曲线y=f(x)是凹的或者是凸的，欲证明y=f(x)和y=f(x0)+f’(x0)(x－x0)除切点外不相交，即证它们的差除切点外没有零点。
解析
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考研数学三

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