设A,B为n阶矩阵,则下列结论正确的是( ).

admin2019-06-06  29

问题 设A,B为n阶矩阵,则下列结论正确的是(    ).

选项 A、若A2~B2,则A~B
B、矩阵A的秩与A的非零特征值的个数相等
C、若A,B的特征值相同,则A~B
D、若A~B,且A可相似对角化,则B可相似对角化

答案D

解析 由A~B得A,B的特征值相同,设为λ1,λ2,…,λn,且存在可逆矩阵P1,使得P1﹣1AP1=B,即A=P1BP1﹣1;因为A可相似对角化,所以存在可逆矩阵P2使得P2﹣1AP2即A=,于是有P1BP1﹣1,或P2﹣1P1BP1﹣1P2,取P=P1﹣1P2,则PBP﹣1即B可相似对角化,应选(D).
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