2. 考研
  3. 假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g’’(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0。证明： 在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使。

假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g’’(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0。证明： 在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使。

admin2018-12-19  64
问题 假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g’’(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0。证明：
在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使。
选项
答案构造函数F(x)=f(x)g’(x)一g(x)f’(x)，由题设条件得函数F(x)在区间[a，b]上是连续的，在区间(a，b)上是可导的，且满足F(a)=F(b)=0。根据罗尔定理可知，存在点ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0。即 f(ξ)g’’(ξ)—f’’(ξ)g(ξ)=0， 因此可得 [*]
解析
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考研数学二

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