(2011年)设向量组α1=(1,0,1)T,α2(0,1,1)T,α3=(1,3,5)T不能由向量组β1=(1,1,1)T,β2=(1,2,3)T,β3=(3,4,a)T线性表示. (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)将β1,β2,β3用α1,α2,

admin2016-05-30  29

问题 (2011年)设向量组α1=(1,0,1)T,α2(0,1,1)T,α3=(1,3,5)T不能由向量组β1=(1,1,1)T,β2=(1,2,3)T,β3=(3,4,a)T线性表示.
    (Ⅰ)求a的值;
    (Ⅱ)将β1,β2,β3用α1,α2,α3线性表示.

选项

答案(Ⅰ)4个3维向量β1,β2,β3,αi线性相关(i=1,2,3),若β1,β2,β3线性无关,则αi可由β1,β2,β2线性表示(i=1,2,3),这与题设矛盾,于是β1,β2,β3线性相关,从而 0=|β1,β2,β3|=[*]=a-5, 于是a=5.此时,α1不能由向量组β1,β2,β3线性表示. (Ⅱ)令矩阵A=[α1 α2 α3[*]β1 β2 β3],对A施行初等行变换 [*] 从而,β1=2α1+4α2-α3,β2=α1+2α2,β3=5α1+10α2-2α3

解析
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