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  3. 设A，B均为n阶对称矩阵，则下列结论不正确的是( )

设A，B均为n阶对称矩阵，则下列结论不正确的是( )

admin2019-08-12  52
问题 设A，B均为n阶对称矩阵，则下列结论不正确的是(    )
选项 A、A+B是对称矩阵．
B、AB是对称矩阵．
C、A*+B*是对称矩阵．
D、A一2B是对称矩阵．
答案B
解析 由题设条件，则(A+B)T=AT+BT=A+B，及 (kB)T=kBT=kB，所以有 (A一2B)T=AT一(2BT)=A一2B，从而选项A、D的结论是正确的．首先来证明(A*)T=(AT)*，即只需证明等式两边(i，j)位置元素相等．(A*)T在位置(i，j)的元素等于A*在(j，i)位置的元素，且为元素aii的代数余子式Aij而矩阵(AT)*在(i，j)位置的元素等于AT的(j，i)位置的元素的代数余子式，因A为对称矩阵，即aii=aij则该元素仍为元素aij的代数余子式Aij从而(A*)T=(AT)*=A*，故A*为对称矩阵，同理，B*亦为对称矩阵．结合选项A的结论，则选项C的结论是正确的．因为(AB)T=BTAT=BA，从而选项B的结论不正确．注意：当A，B均为对称矩阵时，AB为对称矩阵的充要条件是AB=BA．所以应选B．
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考研数学二

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