设A，B均为n阶对称矩阵，则下列结论不正确的是( )

admin2019-08-12 51

问题设A，B均为n阶对称矩阵，则下列结论不正确的是( )

选项 A、A+B是对称矩阵．
B、AB是对称矩阵．
C、A^*+B^*是对称矩阵．
D、A一2B是对称矩阵．

答案B

解析由题设条件，则(A+B)^T=A^T+B^T=A+B，及 (kB)^T=kB^T=kB，所以有 (A一2B)^T=A^T一(2B^T)=A一2B，从而选项A、D的结论是正确的．首先来证明(A^*)^T=(A^T)^*，即只需证明等式两边(i，j)位置元素相等．(A^*)^T在位置(i，j)的元素等于A^*在(j，i)位置的元素，且为元素a_ii的代数余子式A_ij而矩阵(A^T)^*在(i，j)位置的元素等于A^T的(j，i)位置的元素的代数余子式，因A为对称矩阵，即a_ii=a_ij则该元素仍为元素a_ij的代数余子式A_ij从而(A^*)^T=(A^T)^*=A^*，故A^*为对称矩阵，同理，B^*亦为对称矩阵．结合选项A的结论，则选项C的结论是正确的．因为(AB)^T=B^TA^T=BA，从而选项B的结论不正确．注意：当A，B均为对称矩阵时，AB为对称矩阵的充要条件是AB=BA．所以应选B．

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考研数学二

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