2. 考研
  3. 证明：(1)若随机变量X只取一个值a，则X与任一随机变量Y独立；(2)若随机变量X与自己独立，则存在C，使得P(X＝C)＝1．

证明：(1)若随机变量X只取一个值a，则X与任一随机变量Y独立；(2)若随机变量X与自己独立，则存在C，使得P(X＝C)＝1．

admin2018-07-30  45
问题 证明：(1)若随机变量X只取一个值a，则X与任一随机变量Y独立；(2)若随机变量X与自己独立，则存在C，使得P(X＝C)＝1．
选项
答案(1)χ＜a时，P(X≤χ)＝0， 故P(X≤χ，Y≤y)＝P(X≤χ)P(Y≤y)＝0；χ≥a时，P(X≤χ)＝1， 故P(X≤χ，Y≤y)＝P(Y≤y)＝P(X≤χ)P(Y≤y)． [*]y∈R1即[*]y(χ，y)∈R1，有P(X≤χ，Y≤y)＝P(X≤χ)P(Y≤y)，即X与Y独立； (2)由已知得：[*](χ，y)∈R2，有P(X≤χ，Y≤y)＝P(X≤χ)P(Y≤y)，记X的分布函数为F(χ)，则F(χ)＝P(X≤χ) 前式中令y＝χ即得F(χ)＝[F(χ)]2，可见F(z)只能取0或1，又由F(－∞)＝0，F(＋∞)＝1，知必存在C(常数)，使得 [*] 故P{X＝C}＝1．
解析
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考研数学三

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