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设αi=(αi1,αi2,…,αin)T(i=1,2,…,r,r<n)是n维实向量,且α1,α2,…,αr线性无关,已知β=(b1,b2,…,bn)T是线性方程组 的非零解向量,试判断向量组α1,α2,…,αr,β的线性相关性.
设αi=(αi1,αi2,…,αin)T(i=1,2,…,r,r<n)是n维实向量,且α1,α2,…,αr线性无关,已知β=(b1,b2,…,bn)T是线性方程组 的非零解向量,试判断向量组α1,α2,…,αr,β的线性相关性.
admin
2021-02-25
30
问题
设α
i
=(α
i1
,α
i2
,…,α
in
)
T
(i=1,2,…,r,r<n)是n维实向量,且α
1
,α
2
,…,α
r
线性无关,已知β=(b
1
,b
2
,…,b
n
)
T
是线性方程组
的非零解向量,试判断向量组α
1
,α
2
,…,α
r
,β的线性相关性.
选项
答案
设有一组数x
1
,x
2
,…,x
r+1
使得 x
1
α
1
+x
2
α
2
+…+x
r
α
r
+x
r+1
β=0, (*) 用β
T
左乘(*)式两端,由于β是方程组的非零解,所以β
T
α
i
=0(i=1,2,…,r),从而得x
r+1
β
T
β=0,而β≠0,故 β
T
β≠0,从而x
r+1
=0,代入(*)式并注意到向量组α
1
,α
2
,…,α
r
线性无关,可得x
1
=0,x
2
=0,…,x
r
=0,所以向量组α
1
,α
2
,…,α
r
,β线性无关.
解析
本题是向量与方程组的综合题.注意β=(b
1
,b
2
,…,b
n
)
T
是线性方程组的解,则有
即β
T
α
i
=0(i=1,2,…,r).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/KY84777K
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考研数学二
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