2. 考研
  3. 设αi=(αi1，αi2，…，αin)T(i=1，2，…，r，r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关，已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．

设αi=(αi1，αi2，…，αin)T(i=1，2，…，r，r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关，已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组 的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．

admin2021-02-25  56
问题 设αi=(αi1，αi2，…，αin)T(i=1，2，…，r，r＜n)是n维实向量，且α1，α2，…，αr线性无关，已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组
   
的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．
选项
答案设有一组数x1，x2，…，xr+1使得 x1α1+x2α2+…+xrαr+xr+1β=0， (*) 用βT左乘(*)式两端，由于β是方程组的非零解，所以βTαi=0(i=1，2，…，r)，从而得xr+1βTβ=0，而β≠0，故 βTβ≠0，从而xr+1=0，代入(*)式并注意到向量组α1，α2，…，αr线性无关，可得x1=0，x2=0，…，xr=0，所以向量组α1，α2，…，αr，β线性无关．
解析 本题是向量与方程组的综合题．注意β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组的解，则有
   
即βTαi=0(i=1，2，…，r)．
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考研数学二

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