设A是n阶矩阵,α1,α2,…,αn是n维列向量,且αn≠0,若Aα1=α2,Aα2=α3,…,Aαn-1=αn,Aαn=0. (1)证明:α1,α2,…,αn线性无关; (2)求A的特征值与特征向量.

admin2018-04-18  27

问题 设A是n阶矩阵,α1,α2,…,αn是n维列向量,且αn≠0,若Aα1=α2,Aα2=α3,…,Aαn-1=αn,Aαn=0.
    (1)证明:α1,α2,…,αn线性无关;
    (2)求A的特征值与特征向量.

选项

答案(1)令χ1α1+χ2α2+…+χnαn=0,则 χ11+χ22+…+χnn=0[*]χ1α2+χ2α3+…+χn-1αn=0 χ12+χ23+…+χn-1n=0[*]χ1α3+χ2α4+…+χn-2αn=0 … χ1αn=0 因为αn≠0,所以χ1=0,反推可得χ2=…=χn=0,所以α1,α2,…,αn线性无关. (2)A(α1,α2,…,αn)一(α1,α2,…αn)[*] 令P=(α1,α2,…,αn), 则P-1AP=[*]=B, 则A与B相似,由|λE-B|=0[*]λ1=… λn=0,即A的特征值全为零,又r(A)=n-1,所以AX=0的基础解系只含有一个线性无关的解向量,而Aαn=0αnn≠0),所以A的全部特征向量为kαn(k≠0).

解析
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