2. 考研
  3. 设函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)＝g(b)＝0，g’(x)＜0，试证明存在ξ∈(a，b)使＝0．

设函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)＝g(b)＝0，g’(x)＜0，试证明存在ξ∈(a，b)使＝0．

admin2017-12-31  72
问题 设函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)＝g(b)＝0，g’(x)＜0，试证明存在ξ∈(a，b)使＝0．
选项
答案令φ(x)＝f(x)∫xbg(t)dt＋g(x)∫axf(t)dt， φ(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且 φ’(x)＝[f’(x)∫xbg(t)dt－f(x)g(x)]＋[g(x)f(x)＋g’(x)∫axf(t)dt] ＝f’(x)∫xbg(t)dt＋g’(x)∫axf(t)dt， 因为φ(a)＝φ(b)＝0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)使φ’(ξ)＝0，即 f’(ξ)∫ξbg(t)dt＋g’(ξ)∫aξf(t)dt＝0， 由于g(b)＝0及g’(x)＜0，所以区间(a，b)内必有g(x)＞0， 从而就有∫xbg(t)dt＞0，于是有[*]
解析
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考研数学三

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