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[2005年] 确定常数a,使向量组α1=[1,1,a]T,α2=[1,a,1]T,α3=[a,1,1]T可由向量组β1=[1,1,a]T,β2=[一2,a,4]T,β3=[一2,a,a]T线性表示,但向量组β1,β2,β3不能由向量组α1,α2,α3线
[2005年] 确定常数a,使向量组α1=[1,1,a]T,α2=[1,a,1]T,α3=[a,1,1]T可由向量组β1=[1,1,a]T,β2=[一2,a,4]T,β3=[一2,a,a]T线性表示,但向量组β1,β2,β3不能由向量组α1,α2,α3线
admin
2019-05-10
75
问题
[2005年] 确定常数a,使向量组α
1
=[1,1,a]
T
,α
2
=[1,a,1]
T
,α
3
=[a,1,1]
T
可由向量组β
1
=[1,1,a]
T
,β
2
=[一2,a,4]
T
,β
3
=[一2,a,a]
T
线性表示,但向量组β
1
,β
2
,β
3
不能由向量组α
1
,α
2
,α
3
线性表示.
选项
答案
由题目要求,需求满足两个条件的常数a.条件之一是方程组x
1
β
1
+x
2
β
2
+x
3
β
3
=α
i
有解,即α
i
可由β
1
,β
2
,β
3
线性表示.条件之二是方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=β
j
无解,即β
i
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示.由这两个条件来确定a的取值,也可从比较两向量组(或矩阵)秩的大小人手求出a. 解一 因α
1
,α
2
,α
3
均可由向量组β
1
,β
2
,β
3
线性表示,故三个方程组x
1
β
1
+x
2
β
2
+x
3
β
3
=α
i
(i=1,2,3)均有解.对增广矩阵[β
1
,β
2
,β
3
:α
1
,α
2
,α
3
]作初等行变换,得到 [β
1
,β
2
,β
3
:α
1
,α
2
,α
3
] [*] 可见,当a≠4且a≠一2时,秩(β
1
,β
2
,β
3
)=3,α
1
,α
2
,α
3
均可由β
1
,β
2
,β
3
线性表示. 向量组β
1
,β
2
,β
3
不能由向量组α
1
,α
2
,α
3
线性表示,即方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=β
j
(j=1,2,3)无解.对增广矩阵[α
1
,α
2
,α
3
:β
1
,β
2
,β
3
]进行初等行变换,得到 [α
1
,α
2
,α
3
:β
1
,β
2
,β
3
][*] 可见,当a=1或a=一2时,β
2
,β
3
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示.为保证α
1
,α
2
,α
3
可由β
1
,β
2
,β
3
线性表示,由前面讨论知a≠4且a≠一2. 因此当a=1时,向量组α
1
,α
2
,α
3
可由向量组β
1
,β
2
,β
3
线性表示,且β
1
,β
2
,β
3
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示.
解析
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