设A是n阶方阵，E+A可逆，记f(A)=(E－A)(E+A)－1，证明： f(f(A))=A．

admin2017-06-14 18

问题设A是n阶方阵，E+A可逆，记f(A)=(E－A)(E+A)^－1，证明：
f(f(A))=A．

选项

答案f(f(A))=(E－f(A))(E+f(A))^－1 =[E－(E－A)(E+A)^－1][E+(E－A)(E+A)^－1]^－1 =E(E+A)－(E—A)](E+A)^－1[E+(E－A)(E+A)^－1]^－1 =2A[E+(E－A)(E+A)^－1(E+A)]^－1 =2A[(E+A)+(E—A)]^－1=2A．(2E)^－1=A．

解析

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考研数学一

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设A为3阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3．证明α1，α2，α3线性无关；
设f(x)，ψ(x)，ψ(x)是(－∞，+∞)内的单调增函数，证明：若ψ(x)≤f(x)≤ψ(x)，则ψ(ψ(x))≤f(f(x))≤ψ(ψ(x))

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