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已知,且A的行和相等。 (Ⅰ)求a,b的值; (Ⅱ)A能否相似对角化,若能,请求出正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵,若不能,请说明理由。
已知,且A的行和相等。 (Ⅰ)求a,b的值; (Ⅱ)A能否相似对角化,若能,请求出正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵,若不能,请说明理由。
admin
2016-02-27
35
问题
已知
,且A的行和相等。
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)A能否相似对角化,若能,请求出正交矩阵Q使得Q
T
AQ为对角矩阵,若不能,请说明理由。
选项
答案
(Ⅰ)由于矩阵行和相等,且第三行的行和为5,所以有 1+a+2=5,2+b+a=5, 解得a=2,b=1。 (Ⅱ)将a和b的值代入矩阵得 [*] 可知A是实对称矩阵,故A一定可以相似对角化。 由|λE-A|=0可得 (λ+1)
2
(λ-5)=0, 解得λ=-1(二重根)和5。 由(-E-A)x=0可得线性方程组的基础解系为 (1,0,-1)
T
,(0,1,-1)
T
, 即特征值-1所对的两个线性无关的特征向量为 α
1
=(1,0,-1)
T
,α
2
=(0,1,-1)
T
。 又因矩阵A的行和为5,所以特征值5对应的一个特征向量为α
3
=(1,1,1)
T
。 将上述三个向量正交化,得 β
1
=(1,0,-1)
T
, [*] β
3
=(1,1,1)
T
, 将其单位化即得正交矩阵 [*]
解析
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考研数学二
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