已知，且A的行和相等。 (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)A能否相似对角化，若能，请求出正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若不能，请说明理由。

admin2016-02-27 25

问题已知

，且A的行和相等。
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)A能否相似对角化，若能，请求出正交矩阵Q使得Q^TAQ为对角矩阵，若不能，请说明理由。

选项

答案(Ⅰ)由于矩阵行和相等，且第三行的行和为5，所以有 1+a+2=5，2+b+a=5，解得a=2，b=1。 (Ⅱ)将a和b的值代入矩阵得 [*] 可知A是实对称矩阵，故A一定可以相似对角化。由｜λE-A｜=0可得 (λ+1)²(λ-5)=0，解得λ=-1(二重根)和5。由(-E-A)x=0可得线性方程组的基础解系为 (1，0，-1)^T，(0，1，-1)^T，即特征值-1所对的两个线性无关的特征向量为 α₁=(1，0，-1)^T，α₂=(0，1，-1)^T。又因矩阵A的行和为5，所以特征值5对应的一个特征向量为α₃=(1，1，1)^T。将上述三个向量正交化，得 β₁=(1，0，-1)^T， [*] β₃=(1，1，1)^T，将其单位化即得正交矩阵 [*]

解析

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考研数学二

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