已知,且A的行和相等。 (Ⅰ)求a,b的值; (Ⅱ)A能否相似对角化,若能,请求出正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵,若不能,请说明理由。

admin2016-02-27  27

问题 已知,且A的行和相等。
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)A能否相似对角化,若能,请求出正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵,若不能,请说明理由。

选项

答案(Ⅰ)由于矩阵行和相等,且第三行的行和为5,所以有 1+a+2=5,2+b+a=5, 解得a=2,b=1。 (Ⅱ)将a和b的值代入矩阵得 [*] 可知A是实对称矩阵,故A一定可以相似对角化。 由|λE-A|=0可得 (λ+1)2(λ-5)=0, 解得λ=-1(二重根)和5。 由(-E-A)x=0可得线性方程组的基础解系为 (1,0,-1)T,(0,1,-1)T, 即特征值-1所对的两个线性无关的特征向量为 α1=(1,0,-1)T,α2=(0,1,-1)T。 又因矩阵A的行和为5,所以特征值5对应的一个特征向量为α3=(1,1,1)T。 将上述三个向量正交化,得 β1=(1,0,-1)T, [*] β3=(1,1,1)T, 将其单位化即得正交矩阵 [*]

解析
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