设4元齐次线性方程组(I)为,又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为k1(0,1,1,0)+k2(一1,2,2,1). (1)求线性方程组(I)的基础解系; (2)问线性方程组(I)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没

admin2016-04-11  44

问题 设4元齐次线性方程组(I)为,又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为k1(0,1,1,0)+k2(一1,2,2,1).
    (1)求线性方程组(I)的基础解系;
    (2)问线性方程组(I)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.

选项

答案(1)由已知,(I)的系数矩阵为 [*] 故(I)的基础解系可取为:(0,0,1,0),(一1,1,0,1). (2)有非零公共解. 将(Ⅱ)的通解代入方程组(I),则有 [*] 解得k1=一k2,当k1=一k2≠0时,则向量 k1(0,1,1,0)+k2(一1,2,2,1)=k2[(0,一1,一1,0)+(一1,2,2,1)]=k2(一1,1,1,1) 满足方程组(I)(显然是(Ⅱ)的解),故方程组(I)、(Ⅱ)有非零公共解,所有非零公共解是k(一1,1,1,1)(k是不为0的任意常数).

解析 本题(1)求基础解系属基本题目;而(2)主要考查齐次线性方程组通解的概念、两方程组公共解的概念及其求法.注意,寻求两方程组(I)与(Ⅱ)的公共解,也就是寻求它们的解集合的交集合中的向量,或者说在(Ⅱ)的解集合中寻找那些满足方程组(I)的解向量.
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