2. 考研
  3. 设4元齐次线性方程组(I)为，又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为k1(0，1，1，0)+k2(一1，2，2，1)． (1)求线性方程组(I)的基础解系； (2)问线性方程组(I)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解．若没

设4元齐次线性方程组(I)为，又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为k1(0，1，1，0)+k2(一1，2，2，1)． (1)求线性方程组(I)的基础解系； (2)问线性方程组(I)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解．若没

admin2016-04-11  65
问题 设4元齐次线性方程组(I)为，又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为k1(0，1，1，0)+k2(一1，2，2，1)．
    (1)求线性方程组(I)的基础解系；
    (2)问线性方程组(I)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解．若没有，则说明理由．
选项
答案(1)由已知，(I)的系数矩阵为 [*] 故(I)的基础解系可取为：(0，0，1，0)，(一1，1，0，1)． (2)有非零公共解． 将(Ⅱ)的通解代入方程组(I)，则有 [*] 解得k1=一k2，当k1=一k2≠0时，则向量 k1(0，1，1，0)+k2(一1，2，2，1)=k2[(0，一1，一1，0)+(一1，2，2，1)]=k2(一1，1，1，1) 满足方程组(I)(显然是(Ⅱ)的解)，故方程组(I)、(Ⅱ)有非零公共解，所有非零公共解是k(一1，1，1，1)(k是不为0的任意常数)．
解析 本题(1)求基础解系属基本题目；而(2)主要考查齐次线性方程组通解的概念、两方程组公共解的概念及其求法．注意，寻求两方程组(I)与(Ⅱ)的公共解，也就是寻求它们的解集合的交集合中的向量，或者说在(Ⅱ)的解集合中寻找那些满足方程组(I)的解向量．
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考研数学一

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