2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上可导，f’(x)＞0，0≤t≤1，记S1(t)为y=f(x)，y=f(t)，x=0所围面积，S2(t)为y=f(x)，y=f(t)，x=1所围面积，证明：存在唯一的ξ∈(0，1)，使得S1(ξ)=kS2(ξ)，k＞0。

设f(x)在[0，1]上可导，f’(x)＞0，0≤t≤1，记S1(t)为y=f(x)，y=f(t)，x=0所围面积，S2(t)为y=f(x)，y=f(t)，x=1所围面积，证明：存在唯一的ξ∈(0，1)，使得S1(ξ)=kS2(ξ)，k＞0。

admin2021-12-14  43
问题 设f(x)在[0，1]上可导，f’(x)＞0，0≤t≤1，记S1(t)为y=f(x)，y=f(t)，x=0所围面积，S2(t)为y=f(x)，y=f(t)，x=1所围面积，证明：存在唯一的ξ∈(0，1)，使得S1(ξ)=kS2(ξ)，k＞0。
选项
答案依题设，如图4-4所示。S1(t)=∫0t[f(t)-f(x)]dx，S2(t)=∫0t[f(x)-f(t)]dx，令F(f)=S1(t)-kS1(t)=∫0t[f(t)-f(x)]dx-k∫t1[f(x)-f(t)]dx，其中k＞0，则由f’(x)＞0，知f(x)在[0，1]上单调增加，故F(0)=-k∫01[f(x)-f(0)]dx＜0，F(1)=∫01[f(1)-f(x)]dx＞0。由零点定理，存在一点ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=0，即S1(ξ)=kS2(ξ)，k＞0，下证ξ是唯一的，F’(t)=f(t)+tf’(t)-f(t)+k(1-t)f’(t)=tf’(t)+k(1-t)f’(t)＞0，故F(t)严格单调增加，从而ξ是唯一的。 [*]
解析
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考研数学二

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