设f(x)在[0,1]上可导,f’(x)>0,0≤t≤1,记S1(t)为y=f(x),y=f(t),x=0所围面积,S2(t)为y=f(x),y=f(t),x=1所围面积,证明:存在唯一的ξ∈(0,1),使得S1(ξ)=kS2(ξ),k>0。

admin2021-12-14  33

问题 设f(x)在[0,1]上可导,f’(x)>0,0≤t≤1,记S1(t)为y=f(x),y=f(t),x=0所围面积,S2(t)为y=f(x),y=f(t),x=1所围面积,证明:存在唯一的ξ∈(0,1),使得S1(ξ)=kS2(ξ),k>0。

选项

答案依题设,如图4-4所示。S1(t)=∫0t[f(t)-f(x)]dx,S2(t)=∫0t[f(x)-f(t)]dx,令F(f)=S1(t)-kS1(t)=∫0t[f(t)-f(x)]dx-k∫t1[f(x)-f(t)]dx,其中k>0,则由f’(x)>0,知f(x)在[0,1]上单调增加,故F(0)=-k∫01[f(x)-f(0)]dx<0,F(1)=∫01[f(1)-f(x)]dx>0。由零点定理,存在一点ξ∈(0,1),使得F(ξ)=0,即S1(ξ)=kS2(ξ),k>0,下证ξ是唯一的,F’(t)=f(t)+tf’(t)-f(t)+k(1-t)f’(t)=tf’(t)+k(1-t)f’(t)>0,故F(t)严格单调增加,从而ξ是唯一的。 [*]

解析
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