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设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2,记 (I)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT; (Ⅱ)若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y12
设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2,记 (I)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT; (Ⅱ)若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y12
admin
2022-09-22
53
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
,记
(I)证明二次型f对应的矩阵为2αα
T
+ββ
T
;
(Ⅱ)若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
.
选项
答案
(I)对二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)进行转化,得 f(x
1
,x
2
,x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
=2(x
1
,x
2
,x
3
)[*](a
1
,a
2
,a
3
)[*]+(x
1
,x
2
,x
3
)[*](b
1
,b
2
,b
3
)[*] =(x
1
,x
2
,x
3
)(2αα
T
+ββ
T
)[*]=x
T
Ax. 其中,x=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,A=2αα
T
+ββ
T
. 因此,二次型f对应的矩阵为2αα
T
+ββ
T
. (Ⅱ)由于α,β是相互正交的单位向量,因此 α
T
β=β
T
α=0,α
T
α=β
T
β=1. 由(I)中A=2αα
T
+ββ
T
,知 Aα=(2αα
T
+ββ
T
)α=2α(α
T
α)+β(β
T
α)=2α. Aβ=(2αα
T
+ββ
T
)β=2α(α
T
β)+β(β
T
β)=β. 因此A有特征值λ
1
=2,λ
2
=1. 又因为r(A)=r(2αα
T
+ββ
T
)≤r(2αα
T
)+r(ββ
T
)=2<3, 所以|A|=0,则λ
3
=0也是矩阵A的特征值, 因此,二次型f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/bDf4777K
0
考研数学二
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