2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 (I)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT； (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12

设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 (I)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT； (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12

admin2022-09-22  48
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记
   
    (I)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT；
    (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
选项
答案(I)对二次型f(x1，x2，x3)进行转化，得 f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2 =2(x1，x2，x3)[*](a1，a2，a3)[*]+(x1，x2，x3)[*](b1，b2，b3)[*] =(x1，x2，x3)(2ααT+ββT)[*]=xTAx． 其中，x=(x1，x2，x3)T，A=2ααT+ββT． 因此，二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT． (Ⅱ)由于α，β是相互正交的单位向量，因此 αTβ=βTα=0，αTα=βTβ=1． 由(I)中A=2ααT+ββT，知 Aα=(2ααT+ββT)α=2α(αTα)+β(βTα)=2α． Aβ=(2ααT+ββT)β=2α(αTβ)+β(βTβ)=β． 因此A有特征值λ1=2，λ2=1． 又因为r(A)=r(2ααT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)=2＜3， 所以｜A｜=0，则λ3=0也是矩阵A的特征值， 因此，二次型f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
解析
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考研数学二

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