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设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 (I)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT； (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12
设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 (I)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT； (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12
admin
2022-09-22
58
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
，记
(I)证明二次型f对应的矩阵为2αα
T
+ββ
T
；
(Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
．
选项
答案
(I)对二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)进行转化，得 f(x
1
，x
2
，x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
=2(x
1
，x
2
，x
3
)[*](a
1
，a
2
，a
3
)[*]+(x
1
，x
2
，x
3
)[*](b
1
，b
2
，b
3
)[*] =(x
1
，x
2
，x
3
)(2αα
T
+ββ
T
)[*]=x
T
Ax． 其中，x=(x
1
，x
2
，x
3
)
T
，A=2αα
T
+ββ
T
． 因此，二次型f对应的矩阵为2αα
T
+ββ
T
． (Ⅱ)由于α，β是相互正交的单位向量，因此 α
T
β=β
T
α=0，α
T
α=β
T
β=1． 由(I)中A=2αα
T
+ββ
T
，知 Aα=(2αα
T
+ββ
T
)α=2α(α
T
α)+β(β
T
α)=2α． Aβ=(2αα
T
+ββ
T
)β=2α(α
T
β)+β(β
T
β)=β． 因此A有特征值λ
1
=2，λ
2
=1． 又因为r(A)=r(2αα
T
+ββ
T
)≤r(2αα
T
)+r(ββ
T
)=2＜3， 所以｜A｜=0，则λ
3
=0也是矩阵A的特征值， 因此，二次型f在正交变换下的标准形为2y
1
2
+y
2
2
．
解析
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0
考研数学二
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