设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A*)2－4E的特征值为0，5，32．求A－1的特征值并判断A－1是否可对角化．

admin2018-05-25 55

问题设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A^*)²－4E的特征值为0，5，32．求A^－1的特征值并判断A^－1是否可对角化．

选项

答案设A的三个特征值为λ₁，λ₂，λ₃，因为B=(A^*)²－4E的三个特征值为0，5，32，所以 (A^*)²的三个特征值为4，9，36，于是A^*的三个特征值为2，3，6．又因为｜A^*｜=36=｜A｜^3－1，所以｜A｜=6．由 [*] 得λ₁=3，λ₂=2，λ₃=1，由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以A^－1的特征值为1， [*] 因为A^－1的特征值都是单值，所以A^－1可以相似对角化．

解析

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