(2013年)设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且．证明： Ⅰ)存在a＞0，使得f(A)=1； Ⅱ)对(Ⅰ)中的a，存在ξ∈(0，a)，使得．

admin2018-07-24 105

问题 (2013年)设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且

．证明：
Ⅰ)存在a＞0，使得f(A)=1；
Ⅱ)对(Ⅰ)中的a，存在ξ∈(0，a)，使得

．

选项

答案(Ⅰ)因为[*]，所以存在x₀＞0，使得f(x₀)＞1．因为f(x)在[0，+∞]上可导，所以f(x)在[0，+∞)上连续．又f(0)=0，根据连续函数的介值定理，存在a∈(0，x₀)，使得f(a)=1． (Ⅱ)因为函数f(x)在区间[0，a]上可导，根据微分中值定理，存在ξ∈(0，a)，使得f(a)一f(0)=af’(ξ)．又因为f(0)=0，f(a)=1，所以 [*]

解析

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考研数学三

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