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已知二次型 f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32—4x1x2—4x1x3+2ax2x3 通过正交变换x=Py化成标准形f=3y12+3y22+by32，求参数a，b及正交矩阵P。
已知二次型 f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32—4x1x2—4x1x3+2ax2x3 通过正交变换x=Py化成标准形f=3y12+3y22+by32，求参数a，b及正交矩阵P。
admin
2019-03-23
54
问题
已知二次型
f(x
1
，x
2
，x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
—4x
1
x
2
—4x
1
x
3
+2ax
2
x
3
通过正交变换x=Py化成标准形f=3y
1
2
+3y
2
2
+by
3
2
，求参数a，b及正交矩阵P。
选项
答案
由题意，二次型f及其标准形的矩阵分别是 [*] 在正交变换下A与Λ相似，故有 [*] 解得a= —2，b= —3。 于是，矩阵A的特征值是3，3，—3。 当λ=3时，由(3E—A)x=0，系数矩阵 [*] 得基础解系α
1
=(—1，1，0)
T
，α
2
=(—1，0，1)
T
，即λ=3有两个线性无关的特征向量。 当λ= —3时，由(—3E—A)x=0，系数矩阵 [*] 得基础解系α
3
=(1，1，1)
T
，即λ= —3的特征向量。 由于λ=3的特征向量α
1
，α
2
不正交，故需施密特正交化。 令β
1
=α
1
=(—1，1，0)
T
，则 [*] 将三个特征向量单位化，有 [*] 那么，所用坐标变换x=Py中，正交矩阵 P=(γ
1
，γ
2
，γ
3
)=[*]。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/bHV4777K
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考研数学二
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