已知二次型 f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32—4x1x2—4x1x3+2ax2x3 通过正交变换x=Py化成标准形f=3y12+3y22+by32，求参数a，b及正交矩阵P。

admin2019-03-23 104

问题已知二次型
f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+x₂²+x₃²—4x₁x₂—4x₁x₃+2ax₂x₃
通过正交变换x=Py化成标准形f=3y₁²+3y₂²+by₃²，求参数a，b及正交矩阵P。

选项

答案由题意，二次型f及其标准形的矩阵分别是 [*] 在正交变换下A与Λ相似，故有 [*] 解得a= —2，b= —3。于是，矩阵A的特征值是3，3，—3。当λ=3时，由(3E—A)x=0，系数矩阵 [*] 得基础解系α₁=(—1，1，0)^T，α₂=(—1，0，1)^T，即λ=3有两个线性无关的特征向量。当λ= —3时，由(—3E—A)x=0，系数矩阵 [*] 得基础解系α₃=(1，1，1)^T，即λ= —3的特征向量。由于λ=3的特征向量α₁，α₂不正交，故需施密特正交化。令β₁=α₁=(—1，1，0)^T，则 [*] 将三个特征向量单位化，有 [*] 那么，所用坐标变换x=Py中，正交矩阵 P=(γ₁，γ₂，γ₃)=[*]。

解析

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考研数学二

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已知二次型 f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32—4x1x2—4x1x3+2ax2x3 通过正交变换x=Py化成标准形f=3y12+3y22+by32，求参数a，b及正交矩阵P。

考研数学二

设A，B都是n阶矩阵，E－AB可逆．证明E－BA也可逆，并且(E－BA)－1=E+B(E－AB)－1A．

设A=(α1，α2，α3)，B=(β1，β2，β3)都是3阶矩阵．规定3阶矩阵证明C可逆的充分必要条件是A，B都可逆．

设A是n阶非零实矩阵(n＞2)，并且AT=A*，证明A是正交矩阵．

设A=αβT，其中α和β都是n维列向量，证明对正整数k，Ak=(βTα)k－1A=(tr(A))k－1A．(tr(A)是A的对角线上元素之和，称为A的迹数．)

设非齐次方程组AX=β有解ξ1，ξ2，ξ3，其中ξ1=(1，2，3，4)T，ξ2+ξ3=(0，1，2，3)T，r(A)=3．求通解．

设(Ⅰ)和(Ⅱ)都是3元非齐次线性方程组，(Ⅰ)有通解ξ1+c1η1+c2η2，ξ1=(1，0，1)，η1=(1，1，0)，η2=(1，2，1)；(Ⅱ)有通解ξ2+cη，ξ2=(0，1，2)，η=(1，1，2)．求(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解．

考虑二次型，问λ取何值时，f为正定二次型?

计算下列曲线所围成的平面图形的面积：(1)y＝x2，y＝x＋2(2)y＝sinx，y＝cosx，x＝0(3)y＝x2，y＝x，y＝2x

设二次型f＝2χ12＋2χ22＋aχ32＋2χ1χ2＋2bχ1χ3＋2χ2χ3经过正交变换X＝QY化为标准形f＝y12y22＋4y32，求参数a，b及正交矩阵Q．

关于次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说法正确的是()

A．子宫颈管呈桶状B．绝经后阴道不规则出血C．月经周期缩短、经期延长D．雌激素治疗恰当、有效E．阵发性腹痛伴阴道流液

中外合资合作企业申请测绘资质，应当向()提交申请资料。

个人理财产品与所有的金融产品一样,具有()的特点。

关系营销活动要处理好企业与哪些子市场的关系?()

所谓“鼓励”技术是指()。

第一次在党的报告中全面、完整、系统地表述教育方针是()。

简述我国的行政区划制度。

设A为四阶矩阵，｜A｜=8，则｜(A)－1一3A｜=_______．

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设A是n阶非零实矩阵(n＞2)，并且AT=A*，证明A是正交矩阵．

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设非齐次方程组AX=β有解ξ1，ξ2，ξ3，其中ξ1=(1，2，3，4)T，ξ2+ξ3=(0，1，2，3)T，r(A)=3．求通解．

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考虑二次型，问λ取何值时，f为正定二次型?

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