已知二次型 f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32—4x1x2—4x1x3+2ax2x3 通过正交变换x=Py化成标准形f=3y12+3y22+by32，求参数a，b及正交矩阵P。

admin2019-03-23 112

问题已知二次型
f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+x₂²+x₃²—4x₁x₂—4x₁x₃+2ax₂x₃
通过正交变换x=Py化成标准形f=3y₁²+3y₂²+by₃²，求参数a，b及正交矩阵P。

选项

答案由题意，二次型f及其标准形的矩阵分别是 [*] 在正交变换下A与Λ相似，故有 [*] 解得a= —2，b= —3。于是，矩阵A的特征值是3，3，—3。当λ=3时，由(3E—A)x=0，系数矩阵 [*] 得基础解系α₁=(—1，1，0)^T，α₂=(—1，0，1)^T，即λ=3有两个线性无关的特征向量。当λ= —3时，由(—3E—A)x=0，系数矩阵 [*] 得基础解系α₃=(1，1，1)^T，即λ= —3的特征向量。由于λ=3的特征向量α₁，α₂不正交，故需施密特正交化。令β₁=α₁=(—1，1，0)^T，则 [*] 将三个特征向量单位化，有 [*] 那么，所用坐标变换x=Py中，正交矩阵 P=(γ₁，γ₂，γ₃)=[*]。

解析

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考研数学二

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已知二次型 f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32—4x1x2—4x1x3+2ax2x3 通过正交变换x=Py化成标准形f=3y12+3y22+by32，求参数a，b及正交矩阵P。

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