设A为n阶矩阵，下列命题正确的是 ( )

admin2019-04-09 99

问题设A为n阶矩阵，下列命题正确的是 ( )

选项 A、若α为A^T的特征向量，那么α为A的特征向量
B、若α为A^*的特征向量，那么α为A的特征向量
C、若α为A²的特征向量，那么α为A的特征向量
D、若α为2A的特征向量，那么α为A的特征向量

答案D

解析 ①矩阵A^T与A的特征值相同，但特征向量不一定相同，故(A)错误．
②假设α为A的特征向量，λ为其特征值，当λ≠0时α也为A^*的特征向量．这是由于
Aα=λα=>A^*Aα=λA^*α=A^*α= λ^－1｜A｜α．
但反之，α为A^*的特征向量，那么α不一定为A的特征向量．例如：当r(A)＜n－1时，A^*=O，此时，任意n维非零列向量都是A^*的特征向量，故A^*的特征向量不一定是A的特征向量．可知(B)错误．
③假设α为A的特征向量，λ为其特征值，则α为A²的特征向量．这是由于
A²α=A(Aα)=λAα=λ²α．
但反之，若α为A²的特征向量，α不一定为A的特征向量．例如：假设Aβ₁=β₁，Aβ₂=－β₂，其中 β₁，β₂≠0．此时有A²(β₁+β₂)=A²β₁+A²β₂=β₁+β₂，可知β₁+β₂为A²的特征向量．但β₁，β₂是矩阵A两个不同特征值的特征向量，它们的和β₁+β₂不是A的特征向量．故(C)错误．
④若α为2A的特征向量，则存在实数λ使得2Aα=λα，此时有Aα=

λα，因此α为A的特征向量．可知(D)是正确的．故选(D)．

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考研数学三

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