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求: (1)直线L:在平面π:x一y+2z一1=0上的投影直线L0的方程; (2)L0绕y轴旋转一周所成曲面的方程.
求: (1)直线L:在平面π:x一y+2z一1=0上的投影直线L0的方程; (2)L0绕y轴旋转一周所成曲面的方程.
admin
2020-04-02
8
问题
求:
(1)直线L:
在平面π:x一y+2z一1=0上的投影直线L
0
的方程;
(2)L
0
绕y轴旋转一周所成曲面的方程.
选项
答案
(1)求通过直线L且垂直于平面π的平面π
*
的方程有三种方法. 方法一 (点法式)直线L的方向向量s=(1,1,-1),平面π的法向量n=(1,-1,2),设平面π
*
的法向量为π
*
,则π
*
⊥s且,π
*
⊥n,于是 [*] 由平面π
*
通过直线L,可知直线L上的点P(1,0,1)在平面π
*
上,于是π
*
的方程为 1·(x-1)-3(y-0)-2(z-1)=0,即x-3y-2z+1=0. 方法二 (一般式)设π
*
的方程为A(x-1)+By+C(z-1)=0,则由条件知 A-B+2C=0,A+B—C=0 由此解得A:B:C=1:3:2,于是π
*
的方程为x-3y-2z+1=0. 方法三 (平面束)由于L的方程可写为 [*] 所以过L的平面方程可设为(x-y-1)+λ(y+z-1)=0,即 x+(λ-1)y+λz-(1+λ)=0 由L与π
*
垂直,可得1-(λ-1)+2λ=0,于是.λ=-2,则π
*
的方程为 x-3y-2z+1=0 因此,所求投影直线的方程为 [*] (2)将L
0
写成参数方程[*]设L
0
绕y轴旋转一周所成的曲面为S,由点P(x
0
,y
0
,z
0
)∈S,有[*]即L
0
绕y轴旋转一周所成的曲面方程为[*]
解析
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0
考研数学一
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