2. 考研
  3. 设f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f′(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f′(x)+x2y]dy=0为全微分方程，求f(x)及该全微分方程的通解.

设f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f′(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f′(x)+x2y]dy=0为全微分方程，求f(x)及该全微分方程的通解.

admin2021-12-14  4
问题 设f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f′(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f′(x)+x2y]dy=0为全微分方程，求f(x)及该全微分方程的通解.
选项
答案令P(x，y)=xy(x+y)-f(x)y，Q(x，y)=f′(x)+x2y， 因为Exy(x+y)-f(x)y]dx+[f′(x)+x2y]dy=0为全微分方程，所以[*] 即f″(x)+f(x)=x2，解得f(x)=C1cosx+C2sinx+x2-2， 由f(0)=0，f′(0)=1得C1=2，C2=1，所以f(x)=2cosx+sinx+x2-2. 原方程为[xy2-(2cosx+sinx)y+2y]dx+(-2sinx+cosx+2x+x2y)dy=0，整理得 (xy2dx+x2ydy)+2(ydx+xdy)-2(ycosxdx+sinxdy)+(-ysinxdx+cosxdy)=0， 即d(1/2x2y2+2xy-2ysinx+ycosx)=0， 原方程的通解为1/2x2y2+2xy-2ysinx+ycosx=C.
解析
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考研数学一

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