2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=1，，试证：对任何满足0＜k＜1的常数k，存在点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=一k．

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=1，，试证：对任何满足0＜k＜1的常数k，存在点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=一k．

admin2017-07-26  52
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=1，，试证：对任何满足0＜k＜1的常数k，存在点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=一k．
选项
答案作辅助函数F(x)=f(x)+kx，则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F’(x)=f’(x)+k． 由f(0)=f(1)=1，[*]＜F(0)＜F(1)． 由介值定理，存在点c∈([*]，1)，使得F(c)=F(0)．因此，F(x)在[0，c]上连续，在(0，c)内可导，且F(0)=F(c)．由洛尔定理，存在点ξ∈(0，c)[*](0，1)，使得F’(ξ)=f’(ξ)+k=0，即f’(ξ)=一k．
解析 这是讨论函数在某点取定值的问题，可转化为导函数的存在性问题．
    f’(ξ)=一k→f’(ξ)+k=0
    →[f(x)+kx]’x=ξ=0
    →F(x)=f(x)+kx的导数在(0，1)内有零点．
于是，我们只要验证F(x)在[0，1]上或其子区间上满足洛尔定理的全部条件．
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考研数学三

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