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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=1,,试证:对任何满足0<k<1的常数k,存在点ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=一k.
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=1,,试证:对任何满足0<k<1的常数k,存在点ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=一k.
admin
2017-07-26
61
问题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=1,
,试证:对任何满足0<k<1的常数k,存在点ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=一k.
选项
答案
作辅助函数F(x)=f(x)+kx,则F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且F’(x)=f’(x)+k. 由f(0)=f(1)=1,[*]<F(0)<F(1). 由介值定理,存在点c∈([*],1),使得F(c)=F(0).因此,F(x)在[0,c]上连续,在(0,c)内可导,且F(0)=F(c).由洛尔定理,存在点ξ∈(0,c)[*](0,1),使得F’(ξ)=f’(ξ)+k=0,即f’(ξ)=一k.
解析
这是讨论函数在某点取定值的问题,可转化为导函数的存在性问题.
f’(ξ)=一k→f’(ξ)+k=0
→[f(x)+kx]’
x=ξ
=0
→F(x)=f(x)+kx的导数在(0,1)内有零点.
于是,我们只要验证F(x)在[0,1]上或其子区间上满足洛尔定理的全部条件.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/puH4777K
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考研数学三
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