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设λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,则α1,A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是
设λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,则α1,A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是
admin
2014-01-26
72
问题
设λ
1
,λ
2
是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α
1
,α
2
,则α
1
,A(α
1
+α
2
)线性无关的充分必要条件是
选项
A、λ
1
≠0.
B、λ
2
≠0.
C、λ
1
=0.
D、λ
2
=0.
答案
B
解析
[分析] 讨论一组抽象向量的线性无关性,可用定义或转化为求其秩即可.
[详解1] 令 k
1
α
1
+k
2
A(α
1
+α
2
)=0,则
k
1
α
1
+k
2
λ
1
α
1
+k
2
λ
2
α
2
=0, (k
1
+k
2
λ
1
)α
1
+k
2
λ
2
α
2
=0.
由于α
1
,α
2
线性无关,于是有
当λ
2
≠0时,显然有k
1
=0,k
2
=0,此时α
1
,A(α
1
+α
2
)线性无关;反过来,若α
1
,A(α
1
+α
2
)线性无关,则必然有λ
2
≠0(否则,α
1
与A(α
1
+α
2
)=λ
1
α
1
线性相关),故应选(B).
[详解2]由于[α
1
,A(α
1
+α
2
)]=[α
1
λ
1
α
1
+λ
2
α
2
]=[α
1
,α
2
]
,可见α
1
,A(α
1
+α
2
)线性无关的充要条件是
=λ
2
≠0.故应选(B).
[评注] 本题综合考查了特征值、特征向量和线性相关与线性无关的概念.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/bQ34777K
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考研数学二
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