2. 考研
  3. 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1＋α2)线性无关的充分必要条件是

设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1＋α2)线性无关的充分必要条件是

admin2014-01-26  50
问题 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1＋α2)线性无关的充分必要条件是
选项 A、λ1≠0．   
B、λ2≠0．   
C、λ1＝0．   
D、λ2＝0．  
答案B
解析 [分析]  讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可．
[详解1]  令  k1α1＋k2A(α1＋α2)＝0，则
    k1α1＋k2λ1α1＋k2λ2α2＝0，  (k1＋k2λ1)α1＋k2λ2α2＝0．
由于α1，α2线性无关，于是有
    当λ2≠0时，显然有k1＝0，k2＝0，此时α1，A(α1＋α2)线性无关；反过来，若α1，A(α1＋α2)线性无关，则必然有λ2≠0(否则，α1与A(α1＋α2)＝λ1α1线性相关)，故应选(B)．
[详解2]由于[α1,A(α1＋α2)]＝[α1λ1α1＋λ2α2]＝[α1，α2]，可见α1，A(α1＋α2)线性无关的充要条件是＝λ2≠0．故应选(B)．
[评注]  本题综合考查了特征值、特征向量和线性相关与线性无关的概念．
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考研数学二

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