正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵．若Q的第1列为(1，2，1)T，求a，Q．

admin2021-01-25 75

问题

正交矩阵Q使得Q^TAQ为对角矩阵．若Q的第1列为

(1，2，1)^T，求a，Q．

选项

答案由题设，ξ=(1，2，1)^T为A的一个特征向量，于是有Aξ=λ₁ξ，即 [*] 解得λ₁=2，a=－1．所以 [*] 由A的特征方程 [*] =(λ－2)(λ－5)(λ+4)=0，得A的特征值为2，5，－4．对于特征值5，求齐次线性方程组(5I－A)x=0的基础解系，由 [*] 得通解x₁=x₃，x₂=－x₃(x₃任意)．令x₃=1，得基础解系为(1，－1，1)^T，将其单位化，得属于特征值5的一个单位特征向量为[*](1，－1，1)^T．同理可求得属于特征值－4的一个单位特征向量为[*](－1，0，1)^T． [*] 故Q为所求的正交矩阵．

解析

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