2. 考研
  3. 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足 Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3 求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角矩阵．

设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足 Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3 求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角矩阵．

admin2018-07-27  51
问题 设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足
Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3
求可逆矩阵P，使得P－1AP为对角矩阵．
选项
答案对应于λ1=λ2=1，解齐次线性方程组(E－B)x=0，得基础解系 ξ1=(－1，1，0)T，ξ2=(－2，0，1)T 对应于λ3=4，解齐次线性方程组(4E－B)x=0，得基础解系 ξ3=(0，1，1)T 令矩阵 Q=(ξ1，ξ2，ξ3) [*] 则有 Q－1BQ [*] 因Q－1BQ=Q－1C－1ACQ=(CQ)－1A(CQ)，记矩阵 P=CQ [*] =(－α1+α2，－2α1+α3，α2+α3) 则有P－1AP=Q－1BQ=diag(1，1，4)为对角矩阵，故P即为所求的可逆矩阵．
解析
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考研数学三

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