设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的三维列向量,且满足 Aα1=α1+α2+α3,Aα2=2α2+α3,Aα3=2α2+3α3 求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵.

admin2018-07-27  35

问题 设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的三维列向量,且满足
1123,Aα2=2α23,Aα3=2α2+3α3
求可逆矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵.

选项

答案对应于λ12=1,解齐次线性方程组(E-B)x=0,得基础解系 ξ1=(-1,1,0)T,ξ2=(-2,0,1)T 对应于λ3=4,解齐次线性方程组(4E-B)x=0,得基础解系 ξ3=(0,1,1)T 令矩阵 Q=(ξ1,ξ2,ξ3) [*] 则有 Q-1BQ [*] 因Q-1BQ=Q-1C-1ACQ=(CQ)-1A(CQ),记矩阵 P=CQ [*] =(-α12,-2α13,α23) 则有P-1AP=Q-1BQ=diag(1,1,4)为对角矩阵,故P即为所求的可逆矩阵.

解析
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