求微分方程y"+y’=x2的通解。

admin2022-10-13 12

问题求微分方程y"+y’=x²的通解。

选项

答案解法一对应齐次方程的特征方程为λ²+λ=0，解之得λ=0,λ=－1,故齐次方程的通解为 y=C₁+C₂e^-x 设非齐次方程的特解为y^*=x(ax²+bx+c)代入原方程得a=[*],b=－1,C=2,因此原方程的通解为 y=[*]x³－x²+2x+C₁+C₂e^-x 解法二令p=y’,代入原方程得p’+p=x²,故 p=e^-x(∫x²e^xdx+C₀)=e^-x(x²e^x－2xe^x+2e^x+C₀) 再积分得到 y=∫(x²－2x+2+C₀e^-x)dx=[*]x³－x²+2x+C₁+C₂e^-x

解析

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考研数学三

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已知曲线与曲线在点(x0，y0)处有公共切线．求(1)常数a及切点(x0，y0)；(2)两曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体体积Vx．
设函数f(x)二阶连续可导，f(0)＝1且有f’(x)＋3f’(t)dt＋2xf(tx)dt＋e－x＝0，求f’(x)．
求微分方程y’’－y’＋2y＝0的通解．
设f(x)在区间[一a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，且f(0)=0．(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；(2)证明：存在η∈[-a，a]，使a3f"(η)=3∫-aaf(x)dx．

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