求微分方程y"+y’=x2的通解。

admin2022-10-13 32

问题求微分方程y"+y’=x²的通解。

选项

答案解法一对应齐次方程的特征方程为λ²+λ=0，解之得λ=0,λ=－1,故齐次方程的通解为 y=C₁+C₂e^-x 设非齐次方程的特解为y^*=x(ax²+bx+c)代入原方程得a=[*],b=－1,C=2,因此原方程的通解为 y=[*]x³－x²+2x+C₁+C₂e^-x 解法二令p=y’,代入原方程得p’+p=x²,故 p=e^-x(∫x²e^xdx+C₀)=e^-x(x²e^x－2xe^x+2e^x+C₀) 再积分得到 y=∫(x²－2x+2+C₀e^-x)dx=[*]x³－x²+2x+C₁+C₂e^-x

解析

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考研数学三

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设（Ⅰ）计算行列式|A|；（Ⅱ）当实数a为何值时，方程组Ax=易有无穷多解，并求其通解。
已知曲线与曲线在点(x0，y0)处有公共切线．求(1)常数a及切点(x0，y0)；(2)两曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体体积Vx．
设非负函数f(x)当x≥0时连续可微，且f(0)＝1．由y＝f(x)，x轴，y轴及过点(x，0)且垂直于x轴的直线围成的图形的面积与y＝f(x)在[0，x]上弧的长度相等，求f(x)．
设f（x）在[a，b]上有二阶连续导数，证明
设二阶常系数线性微分方程y’’+ay’+by=cex有特解y=e2x+(1x)ex，确定常数a，b，c，并求该方程的通解．
已知方程y’’+p(x)y’+g(x)y=0，求证：(I)若p(x)+xq(x)≡0，则y=x是方程的一个特解；(Ⅱ)若m2+mp(x)+1(x)≡0，则y=emx是方程的一个特解．
微分方程满足初始条件y=1的特解是________。

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