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已知α1=(2,3,3)T,α2=(1,0,3)T,α3=(3,5,a+2)T,若β1=(4,-3,15)T可由α1,α2,α3线性表示,β2=(-2,-5,a)T不能由α1,α2,α3线性表示,则a=______.
已知α1=(2,3,3)T,α2=(1,0,3)T,α3=(3,5,a+2)T,若β1=(4,-3,15)T可由α1,α2,α3线性表示,β2=(-2,-5,a)T不能由α1,α2,α3线性表示,则a=______.
admin
2017-05-18
52
问题
已知α
1
=(2,3,3)
T
,α
2
=(1,0,3)
T
,α
3
=(3,5,a+2)
T
,若β
1
=(4,-3,15)
T
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,β
2
=(-2,-5,a)
T
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,则a=______.
选项
答案
2
解析
β
1
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,即方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=β
1
有解,β
2
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,即方程组y
1
α
1
+y
2
α
2
+y
3
α
3
=β
2
无解.由于这两个方程组的系数矩阵是一样的,因此可联合起来加减消元
(α
1
,α
2
,α
3
,β
1
,β
2
)
无论a为何值,方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
=β
1
系数矩阵的秩与增广矩阵的秩总相等,故方程组总有解,即β
1
必可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示.
而方程组y
1
α
1
+y
2
α
2
+y
3
α
3
=β
2
在a=2时由于系数矩阵的秩与增广矩阵的秩不相等,故方程组无解,即β
2
在a=2时不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,两者取交集得到a=2.
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