已知α1=(2,3,3)T,α2=(1,0,3)T,α3=(3,5,a+2)T,若β1=(4,-3,15)T可由α1,α2,α3线性表示,β2=(-2,-5,a)T不能由α1,α2,α3线性表示,则a=______.

admin2017-05-18  29

问题 已知α1=(2,3,3)T,α2=(1,0,3)T,α3=(3,5,a+2)T,若β1=(4,-3,15)T可由α1,α2,α3线性表示,β2=(-2,-5,a)T不能由α1,α2,α3线性表示,则a=______.

选项

答案2

解析 β1可由α1,α2,α3线性表示,即方程组x1α1+x2α2+x3α31有解,β2不能由α1,α2,α3线性表示,即方程组y1α1+y2α2+y3α32无解.由于这两个方程组的系数矩阵是一样的,因此可联合起来加减消元
1,α2,α3,β1,β2)

无论a为何值,方程组x1α1+x2α2+x3α31系数矩阵的秩与增广矩阵的秩总相等,故方程组总有解,即β1必可由α1,α2,α3线性表示.
    而方程组y1α1+y2α2+y3α32在a=2时由于系数矩阵的秩与增广矩阵的秩不相等,故方程组无解,即β2在a=2时不能由α1,α2,α3线性表示,两者取交集得到a=2.
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