2. 考研
  3. 设f(x)∈C[a,b],在(a,b)内二阶可导，且f"(x)≥0,ψ(x)是区间[a,b]上的非负连续函数，且∫abψ(x)dx=1,证明，∫abf(x)ψ(x)dx≥f[∫abxψ(x)dx].

设f(x)∈C[a,b],在(a,b)内二阶可导，且f"(x)≥0,ψ(x)是区间[a,b]上的非负连续函数，且∫abψ(x)dx=1,证明，∫abf(x)ψ(x)dx≥f[∫abxψ(x)dx].

admin2021-11-25  55
问题 设f(x)∈C[a,b],在(a,b)内二阶可导，且f"(x)≥0,ψ(x)是区间[a,b]上的非负连续函数，且∫abψ(x)dx=1,证明，∫abf(x)ψ(x)dx≥f[∫abxψ(x)dx].
选项
答案因为f"(x)≥0,所以有f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x－x0) 取x0=∫abxψ(x)dx,因为ψ(x)≥0,所以aψ(x)≤xψ(x)≤bψ(x),又∫abψ(x)dx=1,于是有a≤∫abxψ(x)dx=x0≤b,把x0=∫abxψ(x)dx代入f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x－x0)中，再由ψ(x)≥0,得 f(x)ψ(x)≥f(x0)ψ(x)+f’(x0)[xψ(x)－x0ψ(x)], 上述不等式两边再在区间[a,b]上积分，得∫abf(x)ψ(x)dx≥f[∫abxψ(x)dx].
解析
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考研数学二

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