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设f(x)∈C[a,b],在(a,b)内二阶可导,且f"(x)≥0,ψ(x)是区间[a,b]上的非负连续函数,且∫abψ(x)dx=1,证明,∫abf(x)ψ(x)dx≥f[∫abxψ(x)dx].
设f(x)∈C[a,b],在(a,b)内二阶可导,且f"(x)≥0,ψ(x)是区间[a,b]上的非负连续函数,且∫abψ(x)dx=1,证明,∫abf(x)ψ(x)dx≥f[∫abxψ(x)dx].
admin
2021-11-25
48
问题
设f(x)∈C[a,b],在(a,b)内二阶可导,且f"(x)≥0,ψ(x)是区间[a,b]上的非负连续函数,且∫
a
b
ψ(x)dx=1,证明,∫
a
b
f(x)ψ(x)dx≥f[∫
a
b
xψ(x)dx].
选项
答案
因为f"(x)≥0,所以有f(x)≥f(x
0
)+f’(x
0
)(x-x
0
) 取x
0
=∫
a
b
xψ(x)dx,因为ψ(x)≥0,所以aψ(x)≤xψ(x)≤bψ(x),又∫
a
b
ψ(x)dx=1,于是有a≤∫
a
b
xψ(x)dx=x
0
≤b,把x
0
=∫
a
b
xψ(x)dx代入f(x)≥f(x
0
)+f’(x
0
)(x-x
0
)中,再由ψ(x)≥0,得 f(x)ψ(x)≥f(x
0
)ψ(x)+f’(x
0
)[xψ(x)-x
0
ψ(x)], 上述不等式两边再在区间[a,b]上积分,得∫
a
b
f(x)ψ(x)dx≥f[∫
a
b
xψ(x)dx].
解析
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考研数学二
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