已知实二次型 f(x1，x2，x3)=xTAx的矩阵A满足tr(A)=-6．AB=C，其中用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换；

admin2021-02-25 87

问题已知实二次型 f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx的矩阵A满足tr(A)=-6．AB=C，其中

用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换；

选项

答案由题设AB=C，得 [*] 由此知λ₁=0，λ₂=-12是A的特征值，α₁=(1，2，1)^T，α₂=(1，-1，1)^T分别是对应的特征向量．设A的第3个特征值为λ₃，由λ₁+λ₂+λ₃=tr(A)=-6，得λ₃=6，再设A的对应于λ₃=6的特征向量为 α₃=(x₁，x₂，x₃)^T，则由λ₁，λ₂，λ₃互异，有 [*] 解得α₃=(-1，0，1)^T．将α₁，α₂，α₃单位化得 [*] 令P=(p₁，p₂，p₃)，则x=Py为所求的正交变换，将f=-12y²₂+6²₃

解析本题考查抽象二次型化标准形，由矩阵的运算关系和A的迹求出A的特征值与特征向量，写出二次型的标准形，由此确定二次曲面．再由方阵对角化的逆问题求出矩阵A，从而求出原二次型．

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考研数学二

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已知实二次型 f(x1，x2，x3)=xTAx的矩阵A满足tr(A)=-6．AB=C，其中用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换；

考研数学二

证明：当0

求曲面x2+y2+z2=x的切平面，使其垂直于平面x—y—z=2和

设向量组α1=(a，0，10)T，α2=(一2，1，5)T，α3=(一1，1，4)T，β=(1，b，c)T，试问：当a，b，c满足什么条件时,回答下列问题：β可由α1,α2,α3线性表出，但表示不唯一，求出一般表达式。

已知矩阵A=有3个线性无关的特征向量，λ=2是A的2重特征值．试求可逆矩阵P，使P-1AP成为对角矩阵．

设A，b都是n阶矩阵，使得A+B可逆，证明B(A+B)-1A=A(A+B)-1B．

直线y=x将椭圆x2+3y2=6y分为两块，设小块面积为A，大块面积为B，求的值．

设a1，a2，a3是四元非齐次方程组Ax=b的三个解向量，且秩r(A)=3，a1=(1，2，3，4)T，a2+a3=(0，1，2，3)T，c表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解x=()．

设A为n阶实对称矩阵，满足A2=E，并且r(A+E)=k＜n．①求二次型xTAx的规范形．②证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求｜B｜．

设n阶方阵A的，n个特征值全为0，则()．

设三元二次型x12+x22+5x32+2tx1x2-2x1x3+4x2x3是正定二次型，则t∈______．

房室延搁的生理意义是

哪一种子宫内膜癌的病理类型最多见()

10个月女婴，人工喂养，夜间多汗，睡眠不好，查体可见枕秃，肋缘外翻，血钙正常，血碱性磷酸酶增高，腕骨X线干骺端增宽，边缘不整，诊断为维生素D缺乏性佝偻病与本病无关的病因是

哪些因素影响人类行为的形成和发展

国家课程在实施上具有可选择性。()

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