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  3. 已知实二次型 f(x1，x2，x3)=xTAx的矩阵A满足tr(A)=-6．AB=C，其中 用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换；

已知实二次型 f(x1，x2，x3)=xTAx的矩阵A满足tr(A)=-6．AB=C，其中 用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换；

admin2021-02-25  56
问题 已知实二次型 f(x1，x2，x3)=xTAx的矩阵A满足tr(A)=-6．AB=C，其中
   
用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换；
选项
答案由题设AB=C，得 [*] 由此知λ1=0，λ2=-12是A的特征值，α1=(1，2，1)T，α2=(1，-1，1)T分别是对应的特征向量． 设A的第3个特征值为λ3，由λ1+λ2+λ3=tr(A)=-6，得λ3=6，再设A的对应于λ3=6的特征向量为 α3=(x1，x2，x3)T，则由λ1，λ2，λ3互异，有 [*] 解得α3=(-1，0，1)T．将α1，α2，α3单位化得 [*] 令P=(p1，p2，p3)，则x=Py为所求的正交变换，将f=-12y22+623
解析 本题考查抽象二次型化标准形，由矩阵的运算关系和A的迹求出A的特征值与特征向量，写出二次 型的标准形，由此确定二次曲面．再由方阵对角化的逆问题求出矩阵A，从而求出原二次型．
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考研数学二

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