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已知实二次型 f(x1,x2,x3)=xTAx的矩阵A满足tr(A)=-6.AB=C,其中 用正交变换将二次型化为标准形,并写出所用的正交变换;
已知实二次型 f(x1,x2,x3)=xTAx的矩阵A满足tr(A)=-6.AB=C,其中 用正交变换将二次型化为标准形,并写出所用的正交变换;
admin
2021-02-25
88
问题
已知实二次型 f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax的矩阵A满足tr(A)=-6.AB=C,其中
用正交变换将二次型化为标准形,并写出所用的正交变换;
选项
答案
由题设AB=C,得 [*] 由此知λ
1
=0,λ
2
=-12是A的特征值,α
1
=(1,2,1)
T
,α
2
=(1,-1,1)
T
分别是对应的特征向量. 设A的第3个特征值为λ
3
,由λ
1
+λ
2
+λ
3
=tr(A)=-6,得λ
3
=6,再设A的对应于λ
3
=6的特征向量为 α
3
=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,则由λ
1
,λ
2
,λ
3
互异,有 [*] 解得α
3
=(-1,0,1)
T
.将α
1
,α
2
,α
3
单位化得 [*] 令P=(p
1
,p
2
,p
3
),则x=Py为所求的正交变换,将f=-12y
2
2
+6
2
3
解析
本题考查抽象二次型化标准形,由矩阵的运算关系和A的迹求出A的特征值与特征向量,写出二次 型的标准形,由此确定二次曲面.再由方阵对角化的逆问题求出矩阵A,从而求出原二次型.
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考研数学二
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