已知实二次型 f(x1，x2，x3)=xTAx的矩阵A满足tr(A)=-6．AB=C，其中用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换；

admin2021-02-25 41

问题已知实二次型 f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx的矩阵A满足tr(A)=-6．AB=C，其中

用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换；

选项

答案由题设AB=C，得 [*] 由此知λ₁=0，λ₂=-12是A的特征值，α₁=(1，2，1)^T，α₂=(1，-1，1)^T分别是对应的特征向量．设A的第3个特征值为λ₃，由λ₁+λ₂+λ₃=tr(A)=-6，得λ₃=6，再设A的对应于λ₃=6的特征向量为 α₃=(x₁，x₂，x₃)^T，则由λ₁，λ₂，λ₃互异，有 [*] 解得α₃=(-1，0，1)^T．将α₁，α₂，α₃单位化得 [*] 令P=(p₁，p₂，p₃)，则x=Py为所求的正交变换，将f=-12y²₂+6²₃

解析本题考查抽象二次型化标准形，由矩阵的运算关系和A的迹求出A的特征值与特征向量，写出二次型的标准形，由此确定二次曲面．再由方阵对角化的逆问题求出矩阵A，从而求出原二次型．

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考研数学二

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已知实二次型 f(x1，x2，x3)=xTAx的矩阵A满足tr(A)=-6．AB=C，其中用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换；

考研数学二

设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0。证明当x≥0时，成立不等式e—x≤f(x)≤1。

已知(1，－1，1，－1)T是线性方程组的一个解，试求(1)该方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；(2)该方程组满足χ2＝χ3的全部分．

讨论方程组的解的情况，在方程组有解时求出其解，其中a，b为常数．

证明：

设向量组α1=(a，0，10)T，α2=(一2，1，5)T，α3=(一1，1，4)T，β=(1，b，c)T，试问：当a，b，c满足什么条件时,回答下列问题：β可由α1,α2,α3线性表出，但表示不唯一，求出一般表达式。

设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数．证明存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；

设矩阵，问k为何值时，存在可逆阵P，使得P-1AP=A，求出P及相应的对角阵．

设直线y=kx与曲线y=所围平面图形为D1，它们与直线x=1围成平面图形为D2．求k，使得D1与D2分别绕x轴旋转一周成旋转体体积V1与V2之和最小，并求最小值；

设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f’’(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫ab(x)dx=1．证明：∫abf(x)φ(c)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．

用配方法化二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋2χ1χ2＋2χ1χ3－4χ32为标准形．

函数y=ax2+c在（0，+∞）上单调增加，则a,c满足（）。

下列是为了防止大体积混凝土结构浇筑后产生温度裂缝，采取的具体措施是()。

国务院财政部门可以制定并发布（　　）。

下列各项企业财务管理目标中，能够同时考虑资金的时间价值和投资风险因素的是()。

在商业银行的成本管理中，员工工资属于()。

在一定的业务量范围内不受业务量变动的影响，在一定期间的总额保持固定不变的成本是()。

受贿罪侵犯的客体是公私财物的所有权。()

ItsohappenedthatLucy,whofounddailyliferatherchaotic,enteredamoresolidworldwhensheopenedthepiano.Shewasthe

已知实二次型 f(x1，x2，x3)=xTAx的矩阵A满足tr(A)=-6．AB=C，其中 用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换；

考研数学二

设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式f’(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0。证明当x≥0时，成立不等式e—x≤f(x)≤1。

已知(1，－1，1，－1)T是线性方程组的一个解，试求(1)该方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；(2)该方程组满足χ2＝χ3的全部分．

讨论方程组的解的情况，在方程组有解时求出其解，其中a，b为常数．

证明：

设向量组α1=(a，0，10)T，α2=(一2，1，5)T，α3=(一1，1，4)T，β=(1，b，c)T，试问：当a，b，c满足什么条件时,回答下列问题：β可由α1,α2,α3线性表出，但表示不唯一，求出一般表达式。

设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数．证明存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；

设矩阵，问k为何值时，存在可逆阵P，使得P-1AP=A，求出P及相应的对角阵．

设直线y=kx与曲线y=所围平面图形为D1，它们与直线x=1围成平面图形为D2．求k，使得D1与D2分别绕x轴旋转一周成旋转体体积V1与V2之和最小，并求最小值；

设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f’’(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫ab(x)dx=1．证明：∫abf(x)φ(c)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．

用配方法化二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋2χ1χ2＋2χ1χ3－4χ32为标准形．

函数y=ax2+c在（0，+∞）上单调增加，则a,c满足（）。

下列是为了防止大体积混凝土结构浇筑后产生温度裂缝，采取的具体措施是()。

国务院财政部门可以制定并发布（ ）。

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在一定的业务量范围内不受业务量变动的影响，在一定期间的总额保持固定不变的成本是()。

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国务院财政部门可以制定并发布（　　）。