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(2000年)已知向量组 β1=,β2=,β3= 与向量组 α1=,α2=,α3= 具有相同的秩,且β3可由α1,α2,α3线性表示,求a、b的值.
(2000年)已知向量组 β1=,β2=,β3= 与向量组 α1=,α2=,α3= 具有相同的秩,且β3可由α1,α2,α3线性表示,求a、b的值.
admin
2021-01-19
88
问题
(2000年)已知向量组
β
1
=
,β
2
=
,β
3
=
与向量组
α
1
=
,α
2
=
,α
3
=
具有相同的秩,且β
3
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,求a、b的值.
选项
答案
α
1
和α
2
线性无关,α
3
=3α
1
+2α
2
,所以向量组α
1
,α
2
,α
3
线性相关,且其秩为2,α
1
,α
2
是它的一个极大线性无关组. 由于向量组β
1
,β
2
,β
3
与α
1
,α
2
,α
3
具有相同的秩,故β
1
,β
2
,β
3
线性相关.从而,行列式 |β
1
,β
2
,β
3
|=[*]=0 由此解得a=3b. 又β
3
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,从而可由α
1
,α
2
线性表示,所以α
1
,α
2
,β
3
线性相关.于是,行列式 |α
1
,α
2
,β
3
|=[*]=0 解之得b=5,所以a=15,b=5.
解析
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考研数学二
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