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设二次型f(χ1,χ2,χ3)=aχ12+2χ22+2χ32+2b1χ3(b>0),其中二次型的矩阵A的特征值的和为1,特征值的乘积为-12。 (Ⅰ)求a,b的值; (Ⅱ)利用正交变换将二次型化为标准形,并写出所作的正交变换和对应的正交矩阵
设二次型f(χ1,χ2,χ3)=aχ12+2χ22+2χ32+2b1χ3(b>0),其中二次型的矩阵A的特征值的和为1,特征值的乘积为-12。 (Ⅰ)求a,b的值; (Ⅱ)利用正交变换将二次型化为标准形,并写出所作的正交变换和对应的正交矩阵
admin
2017-11-30
70
问题
设二次型f(χ
1
,χ
2
,χ
3
)=aχ
1
2
+2χ
2
2
+2χ
3
2
+2b
1
χ
3
(b>0),其中二次型的矩阵A的特征值的和为1,特征值的乘积为-12。
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)利用正交变换将二次型化为标准形,并写出所作的正交变换和对应的正交矩阵。
选项
答案
(Ⅰ)二次型f对应的矩阵为A=[*] 设A的特征值λ
1
,λ
2
,λ
3
满足题中所给条件,则 λ
1
+λ
2
+λ
3
=a+2-2=1,λ
1
λ
2
λ
3
=|A|=-4a-2b
2
=-12。 解得a=1,b=±2,已知b>0,因此a=1,b=2。 (Ⅱ)由矩阵A的特征多项式 |λE-A|=[*] =(λ-2)(λ
2
+λ-6) =(λ-2)
2
(λ+3)。 解得A的三个特征值分别为2,2,-3。 由(2E-A)χ=[*] 可求得属于特征值2的特征向量有两个,分别为ξ
1
=(0,1,0)
T
,ξ
2
=(2,0,1)
T
。 由(-3E-A)χ=[*] 可求得属于特征值-3的特征向量为ξ
3
(1,0,-2)
T
。 由于A的三个特征向量已经两两正交,因此只需要单位化,即 [*] 可得正交矩阵 Q=(η
1
,η
2
,η
3
)=[*] 令X=Qy.则有 f=χ
T
Aχ=y
T
Q
T
AQy=[*] =2y
1
2
+2y
2
2
-3y
3
2
解析
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考研数学一
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