设二次型f(χ1,χ2,χ3)=aχ12+2χ22+2χ32+2b1χ3(b>0),其中二次型的矩阵A的特征值的和为1,特征值的乘积为-12。 (Ⅰ)求a,b的值; (Ⅱ)利用正交变换将二次型化为标准形,并写出所作的正交变换和对应的正交矩阵

admin2017-11-30  26

问题 设二次型f(χ1,χ2,χ3)=aχ12+2χ22+2χ32+2b1χ3(b>0),其中二次型的矩阵A的特征值的和为1,特征值的乘积为-12。
    (Ⅰ)求a,b的值;
    (Ⅱ)利用正交变换将二次型化为标准形,并写出所作的正交变换和对应的正交矩阵。

选项

答案(Ⅰ)二次型f对应的矩阵为A=[*] 设A的特征值λ1,λ2,λ3满足题中所给条件,则 λ1+λ2+λ3=a+2-2=1,λ1λ2λ3=|A|=-4a-2b2=-12。 解得a=1,b=±2,已知b>0,因此a=1,b=2。 (Ⅱ)由矩阵A的特征多项式 |λE-A|=[*] =(λ-2)(λ2+λ-6) =(λ-2)2(λ+3)。 解得A的三个特征值分别为2,2,-3。 由(2E-A)χ=[*] 可求得属于特征值2的特征向量有两个,分别为ξ1=(0,1,0)T,ξ2=(2,0,1)T。 由(-3E-A)χ=[*] 可求得属于特征值-3的特征向量为ξ3(1,0,-2)T。 由于A的三个特征向量已经两两正交,因此只需要单位化,即 [*] 可得正交矩阵 Q=(η1,η2,η3)=[*] 令X=Qy.则有 f=χTAχ=yTQTAQy=[*] =2y12+2y22-3y32

解析
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