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  3. 已知是n阶矩阵，求A的特征值、特征向量，并求可逆矩阵P使P—1AP=Λ。

已知是n阶矩阵，求A的特征值、特征向量，并求可逆矩阵P使P—1AP=Λ。

admin2018-12-19  43
问题 已知是n阶矩阵，求A的特征值、特征向量，并求可逆矩阵P使P—1AP=Λ。
选项
答案A的特征多项式为 [*] =(λ一2n+1)(λ一n+1)n—1， 则A的特征值为λ1=2n一1，λ2=n一1，其中λ2=n一1为n一1重根。 当λ1=2n一1时，解齐次方程组(λ1E一A)x=0，对系数矩阵作初等变换，有 [*] 得到基础解系α1=(1，1，…，1)T。 当λ2=n一1时，齐次方程组(λ2E一A)x=0等价于x1+x2+…+xn=0，得到基础解系 α2=(一1，1，0，…，0)T，α3=(一1，0，1，…，0)T，…，αn=(一1，0，0，…，1)T， 则A的特征向量是k1α1和k2α2+k3α3+…+knαn，其中k1≠0，k2，k3，…，kn不同时为0。 令[*]，则有P—1AP=[*]。
解析
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考研数学二

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