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已知是n阶矩阵,求A的特征值、特征向量,并求可逆矩阵P使P—1AP=Λ。
已知是n阶矩阵,求A的特征值、特征向量,并求可逆矩阵P使P—1AP=Λ。
admin
2018-12-19
44
问题
已知
是n阶矩阵,求A的特征值、特征向量,并求可逆矩阵P使P
—1
AP=Λ。
选项
答案
A的特征多项式为 [*] =(λ一2n+1)(λ一n+1)
n—1
, 则A的特征值为λ
1
=2n一1,λ
2
=n一1,其中λ
2
=n一1为n一1重根。 当λ
1
=2n一1时,解齐次方程组(λ
1
E一A)x=0,对系数矩阵作初等变换,有 [*] 得到基础解系α
1
=(1,1,…,1)
T
。 当λ
2
=n一1时,齐次方程组(λ
2
E一A)x=0等价于x
1
+x
2
+…+x
n
=0,得到基础解系 α
2
=(一1,1,0,…,0)
T
,α
3
=(一1,0,1,…,0)
T
,…,α
n
=(一1,0,0,…,1)
T
, 则A的特征向量是k
1
α
1
和k
2
α
2
+k
3
α
3
+…+k
n
α
n
,其中k
1
≠0,k
2
,k
3
,…,k
n
不同时为0。 令[*],则有P
—1
AP=[*]。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/bjj4777K
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考研数学二
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