利用变换y=f(ex)求微分方程y"一(2ex+1)y’+e2xy=e3x的通解．

admin2016-06-25 46

问题利用变换y=f(e^x)求微分方程y"一(2e^x+1)y’+e^2xy=e^3x的通解．

选项

答案令t=e^x，则y=f(t)，y’=f’(t)．e^x=tf’(t)， y"=[tf’(t)]’_x=e^xf’(t)+tf"(t)．e^x=tf’(t)+t²f"(t)，代入方程得t²f"(t)+tf’(t)一(2t+1)tf’(t)+t²f(t)=t³，即 f"(t)一2f’(t)+f(t)=t．解得f(t)=(C₁+C₂t)e^t+t+2，所以y"=(2e^x+1)y’+e^2xy=e^3x的通解为 y=(C₁+C₂e^x)[*]+e^x+2，其中C₁，C₂为任意常数．

解析

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考研数学二

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设二阶常系数线性微分方程y″+ay′+by=cex有特解y=e2x+(1+x)ex，确定常数a，b，c，并求该方程的通解.
设函数f(x)连续，且f′(0)＞0，则存在δ＞0使得().
证明：∫0πxasinxdx·∫0π/2a-cosxdx≥π3/4，其中a＞0为常数.
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