2. 考研
  3. 设f(x)在[0，2]上连续，且f(0)=0，f(1)=1．证明： (1)存在c∈(0，1)，使得f(c)=1-2c； (2)存在ξ∈[0，2]，使得2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ)．

设f(x)在[0，2]上连续，且f(0)=0，f(1)=1．证明： (1)存在c∈(0，1)，使得f(c)=1-2c； (2)存在ξ∈[0，2]，使得2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ)．

admin2018-05-22  23
问题 设f(x)在[0，2]上连续，且f(0)=0，f(1)=1．证明：
    (1)存在c∈(0，1)，使得f(c)=1-2c；
    (2)存在ξ∈[0，2]，使得2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ)．
选项
答案(1)令φ(x)=f(x)-1+2x，φ(0)=-1，φ(1)=2，因为φ(0)φ(1)＜0，所以存在c∈(0，1)，使得φ(c)=0，于是f(c)=1-2c． (2)因为f(x)∈C[0，2]，所以f(x)在[0，2]上取到最小值m和最大值M， 由6m≤2f(0)+f(1)+3f(2)≤6M得m≤[*]≤M， 由介值定理，存在ξ∈[0，2]，使得[*]=f(ξ)， 于是2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ)．
解析
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考研数学二

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