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  3. 设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有

设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有

admin2014-01-26  27
问题 设向量组α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有
选项 A、α1，α2，α3，kβ1＋β2线性无关．   
B、α1，α2，α3，kβ1＋β2线性相关．
C、α1，α2，α3，β1＋kβ2线性无关．   
D、α1，α2，α3，β1＋kβ2线性相关．  
答案A
解析 [分析]  向量组的线性相关性可通过向量组的秩来确定，若向量组的秩等于向量组中向量的个数，则向量组线性无关．本题向量组中的向量含有常数，也可取特殊的值排除错误选项．
    [详解1]  由题设知α1，α2，α3，β1线性无关，且存在k1，k2，k3使
    β1＝k1α1＋k2α1＋k3α3，
    于是通过初等列变换有
(α1，α2，α3，kβ1＋β2)＝(α1，α2，α3，kk1α2＋kk2α2＋kk3α3＋β2)－(α1，α2，α3，β2)，
    因此
    r(α1，α2，α3，kβ1＋β2)＝r(α1，α2，α3，β2)＝4，
    故α1，α2，α3，kβ1＋β2线性无关．
    [详解2]  取k＝0，由条件知向量组α1，α2，α3线性：无关，α1，α2，α3，β1线性相关，所以应排除(B)、(C)．
    取k＝1，因β可由α1，α2，α3线性表示，β不能由α1，α2，α3线性表示，所以α1，α2，α3，β1＋β2线性无关，因而可排除(D)．
故应选(A)．
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考研数学二

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