设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(一1，2，一1)T，α2=(0，一l，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ。

admin2019-01-19 77

问题设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α₁=(一1，2，一1)^T，α₂=(0，一l，1)^T是线性方程组Ax=0的两个解。
求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得Q^TAQ=Λ。

选项

答案因为A是实对称矩阵，所以α与α₁,α₂正交，只需将α₁与α₂正交化。由施密特正交化法，取 β₁=α₁，β₂=α₂－[*], 再将α，β₁,β₂单位化，得 [*] 令Q=(η₁,η₂，η₃)，则Q^-1=Q^T，且 Q^TAQ=[*]=A。

解析

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