设f(χ)在[0,1]三阶可导,且f(0)=f(1)=0.设F(χ)=χ2f(χ),求证:在(0,1)内存在c.使得F″′(c)=0.

admin2017-07-10  29

问题 设f(χ)在[0,1]三阶可导,且f(0)=f(1)=0.设F(χ)=χ2f(χ),求证:在(0,1)内存在c.使得F″′(c)=0.

选项

答案由于F(0)=F(1)=0,F(χ)在[0,1]可导,则[*]ξ1∈(0,1),F′(ξ1)=0.又 F′(χ)=χ2f′(χ)+2χf(χ), 及由F′(0)=0,F′(ξ1)=0,F′(χ)在[0,1]可导,则[*]ξ2∈(0,ξ1)使得F〞(ξ2)=0.又 F〞(χ)=χ2f〞(χ)+4χf′(χ)+2f(χ), 及由F〞(0)=F〞(ξ2)=0,F〞(χ)在[0,1]可导,则[*]c∈(0,ξ2)使得F″′(c)=0.

解析
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