设有齐次线性方程组 试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

admin2018-08-03  23

问题 设有齐次线性方程组

试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.

选项

答案对方程组的系数矩阵A作初等行变换: [*] (1)当a=0时,r(A)=1<n,故方程组有非零解,其同解方程组为 x1+x2+…+xn=0 由此得基础解系为 ξ1=(一1,1,0,…,0)T,ξ2=(一1,0,1,…,0)T,…,ξn—1=(一1,0,0,…,1)T.于是方程组的通解为 x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn—1ξn—1,其中k1,…,kn—1为任意常数. (2)当a≠0时,对矩阵B作初等行变换: [*] 可知a=一[*]时,r(A)=n一1<n,故此时方程组也有非零解,方程组的用自由未知量表示的通解为 x2=2x1,x3=31,…,xn=nx1 (x1任意), 由此得基础解系为 ξ=(1,2,3,….n)T 于是方程组用基础解系表示的通解为 x=kξ,其中k为任意常数.

解析
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