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  3. 设有齐次线性方程组 试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．

设有齐次线性方程组 试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．

admin2018-08-03  29
问题 设有齐次线性方程组

试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．
选项
答案对方程组的系数矩阵A作初等行变换： [*] (1)当a=0时，r(A)=1＜n，故方程组有非零解，其同解方程组为 x1+x2+…+xn=0 由此得基础解系为 ξ1=(一1，1，0，…，0)T，ξ2=(一1，0，1，…，0)T，…，ξn—1=(一1，0，0，…，1)T．于是方程组的通解为 x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn—1ξn—1，其中k1，…，kn—1为任意常数． (2)当a≠0时，对矩阵B作初等行变换： [*] 可知a=一[*]时，r(A)=n一1＜n，故此时方程组也有非零解，方程组的用自由未知量表示的通解为 x2=2x1，x3=31，…，xn=nx1 (x1任意)， 由此得基础解系为 ξ=(1，2，3，…．n)T 于是方程组用基础解系表示的通解为 x=kξ，其中k为任意常数．
解析
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考研数学一

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