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已知(1,-1,1,-1)T是线性方程组 的一个解,试求 (1)该方程组的全部解,并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解; (2)该方程组满足x2=x3的全部解.
已知(1,-1,1,-1)T是线性方程组 的一个解,试求 (1)该方程组的全部解,并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解; (2)该方程组满足x2=x3的全部解.
admin
2019-03-12
102
问题
已知(1,-1,1,-1)
T
是线性方程组
的一个解,试求
(1)该方程组的全部解,并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解;
(2)该方程组满足x
2
=x
3
的全部解.
选项
答案
将解向量x=(1,-1,1,-1)
T
代入方程组,得λ=μ,对方程组的增广矩阵施行初等行变换: [*] (1)当λ≠1/2时,有 [*] 因r(A)=r([*])=3<4,故方程组有无穷多解,全部解为 x=(0,-1/2,1/2,0)
T
+k(-2,1,-1,2)
T
,其中k为任意常数. 当λ=1/2时,有 [*] 因r(A)=r([*])=2<4,故方程组有无穷多解,全部解为 x=(-1/2,1,0,0)
T
+k
1
(1,-3,1,0)
T
+k
2
(-1,-2,0,2)
T
,其中k
1
,k
2
为任意常数. (2)当λ≠1/2时,由于x
2
=x
3
,即-[*]-k,解得k=1/2,故此时,方程组的解为x=(0,-1/2,1/2,0)
T
+[*](-2,1,-1,2)
T
=(-1,0,0,1)
T
. 当λ=1/2时,由于x
2
=x
3
,即1-3k
1
-2k
2
=k
1
,解得k
2
=[*]=2k
1
,故此时全部解为x=(-1/2,1,0,0)
T
+k
1
(1,-3,1,0)
T
+([*]-2k
1
)(-1,-2,0,2)
T
=(-1,0,0,1)
T
+k
1
(3,1,1,-4)
T
.
解析
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考研数学三
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