设A为n阶矩阵，α为n维列向量，若存在正整数m，使得Am-1α≠0，Amα=0(规定A0为单位矩阵)，证明向量组α，Aα，…，Am-1α线性无关．

admin2020-04-30 48

问题设A为n阶矩阵，α为n维列向量，若存在正整数m，使得A^m-1α≠0，A^mα=0(规定A⁰为单位矩阵)，证明向量组α，Aα，…，A^m-1α线性无关．

选项

答案证法1：设有一组数k₀，k₁，…，k_m-1使 k₀α，k₁Aα，…，k_m-1A^m-1α=0， (1) 用A^m-1左乘(1)式两边，得 k₁A^m-1α=0，又A^m-1α≠0，故k₀=0．从而(1)式变为 k₁Aα+…+k_m-1A^m-1α=0， (2) 再用A^m-2左乘(2)式两边得k₁A^m-1α=0，又A^m-1α≠0，故k₁=0．以此类推，可得k₀=0，k₁=0，…，k_m-1=0，从而α，Aα，…，A^m-1α线性无关．证法2：反证法，设α，Aα，…，A^m-1α线性相关，则存在一组不全为零的数k₀，k₁，…，k_m-1，使 k₀α+k₁Aα+…+k_m-1A^m-1α=0，设从左起第一个不为零的数为k_i，上式变为 k_iAⁱα+k_i+1Aⁱ⁺¹α+…+k_m-1A^m-1α=0．由于A^mα=0，用A^m-i-1左乘等式两边得k_iA^m-1α=0．由于k_i≠0，则A^m-1α=0，矛盾，从而α，Aα，…，A^m-1α线性无关．

解析本题考查向量组线性无关的概念，可以用定义证明．根据本题的条件，我们给出的如下证明也是证明向量组线性无关的典型方法．

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考研数学一

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设三阶矩阵A的特征值是0，1，-1，则下列选项中不正确的是()

设α1，α2，α3，α4是四维非零列向量组，A=(α1，α2，α3，α4)，A为A的伴随矩阵。已知方程组Ax=0的基础解系为k(1，0，2，0)T，则AX=0的基础解系为()

设F1(x)与F2(x)分别是随机变量X1与X2的分布函数，为使F(x)=aF1(x)－bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取

设f(x)，g(y)都是可微函数，则曲线在点(x0，y0，z0)处的法平面方程为_______

设α，β，γ1，γ2，γ3都是4维列向量，且｜A｜＝｜α，γ1，γ2，γ3＝4，｜B｜＝β，2γ1，3γ2，γ3｜＝21，则｜A＋B｜＝______．

设A是3阶矩阵，向量α1＝(1，2，0)T，α2＝(1，0，1)T，β＝(－1，2，－2)T．已知λ＝2是矩阵A的一个特征值，α1，α2是A的属于λ＝2的特征向量，则Aβ＝_______．

设在(－∞，+∞)内连续，但则常数a，b满足()

设z=+yφ(x+y)，f，φ具有二阶连续导数，则=________。

若函数其中f是可微函数，且则函数G(x，y)=()

已知函数y=e2x+(x+1)ex是线性微分方程y’’+ay’+by=cex的一个解，试确定常数a、b、c的值及该微分方程的通解．

股票发行采用代销方式,代销期限届满,向投资者出售的股票数量未达到拟公开发行股票数量()的,为发行失败。

Wesuspectthereisaquitedeliberateattempttosabotagetheelectionsandunderminetheelectoralcommission.

活菌计数中不正确的做法是

常出现自截肾的是

A．饮水呛咳B．声音低钝C．手足抽搐D．声音嘶哑E．失音喉返神经两侧损伤可出现()

管节预制实测项目中，壁厚的允许偏差为3mm。()

商品价值的大小是由商品生产者的个别劳动时间决定的。()

关于水稻，下列说法正确的是()。

Auer小体有助于鉴别

AnexplosionhadthrownradiomanHarleyOlsonoutofbed.Heworkedwildly,tryingto【C1】______anSOS.Butthepowerwasgone.H

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