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  3. 设A为n阶矩阵，α为n维列向量，若存在正整数m，使得Am-1α≠0，Amα=0(规定A0为单位矩阵)，证明向量组α，Aα，…，Am-1α线性无关．

设A为n阶矩阵，α为n维列向量，若存在正整数m，使得Am-1α≠0，Amα=0(规定A0为单位矩阵)，证明向量组α，Aα，…，Am-1α线性无关．

admin2020-04-30  60
问题 设A为n阶矩阵，α为n维列向量，若存在正整数m，使得Am-1α≠0，Amα=0(规定A0为单位矩阵)，证明向量组α，Aα，…，Am-1α线性无关．
选项
答案证法1：设有一组数k0，k1，…，km-1使 k0α，k1Aα，…，km-1Am-1α=0， (1) 用Am-1左乘(1)式两边，得 k1Am-1α=0， 又Am-1α≠0，故k0=0．从而(1)式变为 k1Aα+…+km-1Am-1α=0， (2) 再用Am-2左乘(2)式两边得k1Am-1α=0，又Am-1α≠0，故k1=0．以此类推，可得k0=0，k1=0，…，km-1=0，从而α，Aα，…，Am-1α线性无关． 证法2：反证法，设α，Aα，…，Am-1α线性相关，则存在一组不全为零的数k0，k1，…，km-1，使 k0α+k1Aα+…+km-1Am-1α=0， 设从左起第一个不为零的数为ki，上式变为 kiAiα+ki+1Ai+1α+…+km-1Am-1α=0． 由于Amα=0，用Am-i-1左乘等式两边得kiAm-1α=0． 由于ki≠0，则Am-1α=0，矛盾，从而α，Aα，…，Am-1α线性无关．
解析 本题考查向量组线性无关的概念，可以用定义证明．根据本题的条件，我们给出的如下证明也是证明向量组线性无关的典型方法．
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