首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A为n阶矩阵,α为n维列向量,若存在正整数m,使得Am-1α≠0,Amα=0(规定A0为单位矩阵),证明向量组α,Aα,…,Am-1α线性无关.
设A为n阶矩阵,α为n维列向量,若存在正整数m,使得Am-1α≠0,Amα=0(规定A0为单位矩阵),证明向量组α,Aα,…,Am-1α线性无关.
admin
2020-04-30
59
问题
设A为n阶矩阵,α为n维列向量,若存在正整数m,使得A
m-1
α≠0,A
m
α=0(规定A
0
为单位矩阵),证明向量组α,Aα,…,A
m-1
α线性无关.
选项
答案
证法1:设有一组数k
0
,k
1
,…,k
m-1
使 k
0
α,k
1
Aα,…,k
m-1
A
m-1
α=0, (1) 用A
m-1
左乘(1)式两边,得 k
1
A
m-1
α=0, 又A
m-1
α≠0,故k
0
=0.从而(1)式变为 k
1
Aα+…+k
m-1
A
m-1
α=0, (2) 再用A
m-2
左乘(2)式两边得k
1
A
m-1
α=0,又A
m-1
α≠0,故k
1
=0.以此类推,可得k
0
=0,k
1
=0,…,k
m-1
=0,从而α,Aα,…,A
m-1
α线性无关. 证法2:反证法,设α,Aα,…,A
m-1
α线性相关,则存在一组不全为零的数k
0
,k
1
,…,k
m-1
,使 k
0
α+k
1
Aα+…+k
m-1
A
m-1
α=0, 设从左起第一个不为零的数为k
i
,上式变为 k
i
A
i
α+k
i+1
A
i+1
α+…+k
m-1
A
m-1
α=0. 由于A
m
α=0,用A
m-i-1
左乘等式两边得k
i
A
m-1
α=0. 由于k
i
≠0,则A
m-1
α=0,矛盾,从而α,Aα,…,A
m-1
α线性无关.
解析
本题考查向量组线性无关的概念,可以用定义证明.根据本题的条件,我们给出的如下证明也是证明向量组线性无关的典型方法.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/c2v4777K
0
考研数学一
相关试题推荐
设向量组Ⅰ:α1,α2,…,αr可由向量组Ⅱ:β1,β2,…,βs线性表示,则
设f(x),g(y)都是可微函数,则曲线在点(x0,y0,z0)处的法平面方程为_______
设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量ξ=X+Y与η=X-Y不相关的充分必要条件为
下列函数中不是初等函数的是[]
设在(-∞,+∞)内连续,但则常数a,b满足()
设y=f(x)是微分方程y’’一2y’+4y=0的一个解,若f(x0)>0,且f’(x0)=0,则函数f(x)在点x0()
设α=(1,-1,a)T是A=的伴随矩阵A*的特征向量,其中r(A*)=3,则a=________.
设α为3维列向量,αT是α的转置,若ααT=,则αTα=_________.
设λ1,λ2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,则α,A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是()
方程y(4)-2y’’’-3y’’=e-3x-2e-x+x的特解形式(其中a,b,c,d为常数)是()
随机试题
行车中当驾驶人意识到机动车爆胎时,应在控制住方向的情况下采取紧急制动,迫使机动车迅速停住。
下列关于Internet网中主机、IP地址和域名的叙述,错误的是________。
β受体阻滞剂治疗心绞痛的机制包括
下列主要用于表面麻醉的药是
下列何项是青春期开始的重要标志( )
张三、李四、王五、赵六、周七五人为研究生同学,2010年7月份研究生毕业时,五人商议欲创立一家经营法律类图书的英杰有限责任公司。五人订立了设立公司的协议,约定张三以2010年6月份依据遗嘱继承的其祖父所留给他的临街的一处二层商业房作为出资;李四以货币10万
甲企业向乙银行申请贷款,约定还款日期为2020年12月30日。丙企业为该债务提供了保证担保,但未约定保证方式和保证期间。后甲企业申请展期,与乙银行就还款期限作了变更,还款期限延至2021年12月30日,但未征得丙企业的书面同意。展期到期,甲企业无力还款,乙
以下旅游资源是按功能分类的有()
____________。中国人在太空迈出的每一步,都是科技创新的坚实足印。没有创新驱动,就不会有航天工程的突飞猛进;没有创新驱动,就不会有空间技术、空间应用和空间科学的蓬勃发展。尊重科学、追求卓越,这是中国航天精神,更是大众创业、万众创新背景下转型升级的
五代花鸟画家黄筌和徐熙分别创造了不同的绘画风格,人称“黄家富贵,_______。”
最新回复
(
0
)