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设A为n阶矩阵,α为n维列向量,若存在正整数m,使得Am-1α≠0,Amα=0(规定A0为单位矩阵),证明向量组α,Aα,…,Am-1α线性无关.
设A为n阶矩阵,α为n维列向量,若存在正整数m,使得Am-1α≠0,Amα=0(规定A0为单位矩阵),证明向量组α,Aα,…,Am-1α线性无关.
admin
2020-04-30
58
问题
设A为n阶矩阵,α为n维列向量,若存在正整数m,使得A
m-1
α≠0,A
m
α=0(规定A
0
为单位矩阵),证明向量组α,Aα,…,A
m-1
α线性无关.
选项
答案
证法1:设有一组数k
0
,k
1
,…,k
m-1
使 k
0
α,k
1
Aα,…,k
m-1
A
m-1
α=0, (1) 用A
m-1
左乘(1)式两边,得 k
1
A
m-1
α=0, 又A
m-1
α≠0,故k
0
=0.从而(1)式变为 k
1
Aα+…+k
m-1
A
m-1
α=0, (2) 再用A
m-2
左乘(2)式两边得k
1
A
m-1
α=0,又A
m-1
α≠0,故k
1
=0.以此类推,可得k
0
=0,k
1
=0,…,k
m-1
=0,从而α,Aα,…,A
m-1
α线性无关. 证法2:反证法,设α,Aα,…,A
m-1
α线性相关,则存在一组不全为零的数k
0
,k
1
,…,k
m-1
,使 k
0
α+k
1
Aα+…+k
m-1
A
m-1
α=0, 设从左起第一个不为零的数为k
i
,上式变为 k
i
A
i
α+k
i+1
A
i+1
α+…+k
m-1
A
m-1
α=0. 由于A
m
α=0,用A
m-i-1
左乘等式两边得k
i
A
m-1
α=0. 由于k
i
≠0,则A
m-1
α=0,矛盾,从而α,Aα,…,A
m-1
α线性无关.
解析
本题考查向量组线性无关的概念,可以用定义证明.根据本题的条件,我们给出的如下证明也是证明向量组线性无关的典型方法.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/c2v4777K
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考研数学一
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