设A为n阶矩阵，α为n维列向量，若存在正整数m，使得Am-1α≠0，Amα=0(规定A0为单位矩阵)，证明向量组α，Aα，…，Am-1α线性无关．

admin2020-04-30 45

问题设A为n阶矩阵，α为n维列向量，若存在正整数m，使得A^m-1α≠0，A^mα=0(规定A⁰为单位矩阵)，证明向量组α，Aα，…，A^m-1α线性无关．

选项

答案证法1：设有一组数k₀，k₁，…，k_m-1使 k₀α，k₁Aα，…，k_m-1A^m-1α=0， (1) 用A^m-1左乘(1)式两边，得 k₁A^m-1α=0，又A^m-1α≠0，故k₀=0．从而(1)式变为 k₁Aα+…+k_m-1A^m-1α=0， (2) 再用A^m-2左乘(2)式两边得k₁A^m-1α=0，又A^m-1α≠0，故k₁=0．以此类推，可得k₀=0，k₁=0，…，k_m-1=0，从而α，Aα，…，A^m-1α线性无关．证法2：反证法，设α，Aα，…，A^m-1α线性相关，则存在一组不全为零的数k₀，k₁，…，k_m-1，使 k₀α+k₁Aα+…+k_m-1A^m-1α=0，设从左起第一个不为零的数为k_i，上式变为 k_iAⁱα+k_i+1Aⁱ⁺¹α+…+k_m-1A^m-1α=0．由于A^mα=0，用A^m-i-1左乘等式两边得k_iA^m-1α=0．由于k_i≠0，则A^m-1α=0，矛盾，从而α，Aα，…，A^m-1α线性无关．

解析本题考查向量组线性无关的概念，可以用定义证明．根据本题的条件，我们给出的如下证明也是证明向量组线性无关的典型方法．

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考研数学一

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曲线xy=1在点D(1，1)处的曲率圆方程是_______。

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设总体X～P(λ)(λ为未知参数)，X1，X4，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，其均值与方差分别+(2-3a)S2是λ的无偏估计量，常数a应为()

设随机变量X～U[－1，1]，则随机变量U＝arcsinX，V＝arccosX的相关系数为()．

设X1，X2，X3，X4是来自总体X～N(1，2)的简单随机样本，且服从χ2(n)分布，则常数k和χ2分布的自由度n分别为()．

设封闭曲面S：x2+y2+z2=R2(R＞0)，法向量向外，则=_____

设α＝(1，－1，a)T是A＝的伴随矩阵A的特征向量，其中r(A)＝3，则a＝________．

已知函数y=e2x+(x+1)ex是线性微分方程y’’+ay’+by=cex的一个解，试确定常数a、b、c的值及该微分方程的通解．

设X1，X2，…，X10是来自正态总体X～N(0，22)的简单随机样本，求常数a，b，c，d，使Q=aX12+b(X2+X3)2+c(X4+X5+X6)2+d(X7+X8+X9+X10)2服从χ2分布，并求自由度m．

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开拓公司向甲银行贷款，乙银行出具了备用信用证为该笔贷款担保，后开拓公司称贷款协议无效，拒绝履约。甲银行向乙银行出示了开拓公司的违约证明，要求乙银行付款。依相关规则，下列哪一选项是正确的?()

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企业价值评估是适应(　　　)等经济活动的需要而产生和发展的。

下列各项中，应当征收车辆购置税的有()。(2014年)

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A、很希望出国学习B、希望女的能帮他C、跟同事关系不好A

Ourfuturewillbe______onwhatserviceswecanprovide.

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