设矩阵A=(α1,α2,α3),其中α1,α2,α3是4维列向量,已知非齐次线性方程组Ax=b的通解为 x=k(1,-2,3)T+(1,2,-1)T,k为任意常数. 令矩阵B=(α1,α2,α3,b+α3),证明方程组Bx=α1-α2有无穷多组解

admin2021-02-25  43

问题 设矩阵A=(α1,α2,α3),其中α1,α2,α3是4维列向量,已知非齐次线性方程组Ax=b的通解为
    x=k(1,-2,3)T+(1,2,-1)T,k为任意常数.
令矩阵B=(α1,α2,α3,b+α3),证明方程组Bx=α12有无穷多组解,并求其通解.

选项

答案因 [*] 故r(α1,α2,α3,b+α3)=r(α1,α2,α3,b+α3,α12)=2<4,即非齐次方程组Bx=α12有无穷多组解. 因 [*] 故η*=(1,-1,0,0)T为Bx=α12的一个特解.又 [*] 由于r(α2,α3)=2,所以[*]的通解为x=k1(1,-2,3,0)T+k2(0,4,-3,-1)T,其中k1,k2为任意常数.故Bx=α12的通解为 x=k1(1,-2,3,0)T+k2(0,4,-3,-1)T+(1,-1,0,0)T,其中k1,k2为任意常数.

解析
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