设A是凡阶实对称矩阵，若对任意的n维列向量α恒有αTAα＝0，证明A＝0．

admin2019-04-22 84

问题设A是凡阶实对称矩阵，若对任意的n维列向量α恒有α^TAα＝0，证明A＝0．

选项

答案[*]n维向量α恒有α^TAα＝0，那么令α₁＝(1，0，0，…，0)^T，有 α₁^TAα₁＝(1，0，0，…，0)[*]＝a₁₁＝0．类似地，令α_i＝(0，0，…，0，1，0，…，0)^T(第i个分量为1)，由α_i^TAα_i＝α_ii＝0 (i＝1，2，…，n)．令α₁₂＝(1，1，0，…，0)^T，则有 α₁₂^TAα₁₂＝(1，1，0，…，0)[*]＝a₁₁＋a₂₂＋2a₁₂＝0．故a₁₂＝0．类似可知a_ij＝0(i，j＝1，2，…，n)．所以A＝0．

解析

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