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  3. 设A是凡阶实对称矩阵，若对任意的n维列向量α恒有αTAα＝0，证明A＝0．

设A是凡阶实对称矩阵，若对任意的n维列向量α恒有αTAα＝0，证明A＝0．

admin2019-04-22  98
问题 设A是凡阶实对称矩阵，若对任意的n维列向量α恒有αTAα＝0，证明A＝0．
选项
答案[*]n维向量α恒有αTAα＝0，那么令α1＝(1，0，0，…，0)T，有 α1TAα1＝(1，0，0，…，0)[*]＝a11＝0． 类似地，令αi＝(0，0，…，0，1，0，…，0)T(第i个分量为1)，由αiTAαi＝αii＝0 (i＝1，2，…，n)． 令α12＝(1，1，0，…，0)T，则有 α12TAα12＝(1，1，0，…，0)[*]＝a11＋a22＋2a12＝0． 故a12＝0．类似可知aij＝0(i，j＝1，2，…，n)．所以A＝0．
解析
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考研数学二

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