过点.P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4)分两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( )

admin2019-06-01  32

问题 过点.P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4)分两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为(    )

选项 A、x+y-2=0
B、y—1=0
C、x-y=0
D、x+3y-4=0

答案A

解析 设过点P(1,1)的直线与圆分别交于点A、B,且圆被AB所分的两部分的面积分别为S1,S2,且S1≤S2,劣弧所对的圆心角∠AOB=α,则S1α·22=2α,S2=4π-2α(0<α≤π),∴S2-S1=4π-4α,要求面积差的最大值,即求α的最小值,根据直线与圆相交的性质可知,只有当OP⊥AB时,α最小,此时k=-1,直线AB的方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.故选A.
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