若二次型 f(x1，x2，x3)=x12+ax22+x32+2x1x2－2x2x3－2ax1x3的正、负惯性指数都是1．则a=______．

admin2019-02-23 56

问题若二次型
f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+ax₂²+x₃²+2x₁x₂－2x₂x₃－2ax₁x₃的正、负惯性指数都是1．则a=______．

选项

答案一2

解析二次型f的矩阵

已知正惯性指数p=1，负惯性指数r－p=1．所以矩阵A的秩r(A)=r=2，有
｜A｜=－(a－1)²(a+2)=0，a=1或a=－2．
当a=1时，r(A)=1，不合题意，舍去．当a=－2时，r(A)=2，且A的特征多项式
｜λE－A｜=

=λ(λ－3)(λ+3)，
A的特征值λ₁=3，λ₂=－3，λ₃=0．故二次型f的规范形为f=y₁²－y₂²．其正惯性指数p=1，负惯性指数r－p=1．符合题意，故a=－2．

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考研数学一

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