设函数f(x)连续且恒大于零，其中Ωt={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，Dt={(x，y)｜x2+y2≤t2}。证明当t＞0时，。

admin2018-12-29 25

问题设函数f(x)连续且恒大于零，

其中Ω_t={(x，y，z)｜x²+y²+z²≤t²}，D_t={(x，y)｜x²+y²≤t²}。
证明当t＞0时，

。

选项

答案由于 [*] 要证明t＞0时F(t)＞[*]，只需证明t＞0时，[*]，即 ∫₀^tf(r²)r²dr∫₀^tf(r²)dr—[∫₀^tf(r²)rdr]²＞0。令 g(t)=∫₀^tf(r²)r²dr∫₀^tf(r²)dr—[∫₀^tf(r²)rdr]²，则 g′(t)=f(t²)∫₀^tf(r²)(t—r)²dr＞0，故g(t)在(0，+∞)内单调增加。因为g(t)在t=0处连续，所以当t＞0时，有g(t)＞g(0)=0。因此，当t＞0时，F(t)＞[*]

解析

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