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设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且,f(1)=0.证明:至少存在一点ξ∈(0,1),使(1+ξ2)(arctanξ)f’(ξ)=-1.
设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且,f(1)=0.证明:至少存在一点ξ∈(0,1),使(1+ξ2)(arctanξ)f’(ξ)=-1.
admin
2021-02-25
67
问题
设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且
,f(1)=0.证明:至少存在一点ξ∈(0,1),使(1+ξ
2
)(arctanξ)f’(ξ)=-1.
选项
答案
令F(x)=e
f(x)
arctanx,x∈[0,1],则F(1)=π/4. 由定积分中值定理,存在x
0
∈(0,2/π),使(e
f(x
0
)
arctanx
0
) 2/π=1/2,即F(x
0
)=F(1) 显然F(x)在[x
0
,1]上满足罗尔定理条件,故至少存在一点[*],使f’(ξ)=0, 即 (1+ξ
2
)(arctanξ)f’(ξ)=-1.
解析
本题考查中值问题.根据所证结论的形式,应考虑使用罗尔定理,题设条件由定积分形式给出,提示辅助函数应为被积函数.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/cK84777K
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考研数学二
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