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  3. [2015年]设A，B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X，Y)分别表示分块矩阵，则( )．

[2015年]设A，B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X，Y)分别表示分块矩阵，则( )．

admin2021-01-25  26
问题 [2015年]设A，B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X，Y)分别表示分块矩阵，则(    )．
选项 A、r(A，AB)=r(A)
B、r(A，BA)=r(A)
C、r(A，B)=max{r(A)，r(B)}
D、r(A，B)=r(ATBT)
答案A
解析 解一  易知r(A，AB)≥r(A)．又由分块矩阵的乘法，可知(A，AB)=A(E，B)，因此r(A，AB)≤min{r(A)，r(E，B)}，
    从而       r(A，AB)≤r(A)
    所以r(A，AB)=r(A)，故选项(A)正确．
    解二  排除法
    对选项(B)，取则r(A)=1，r(A，BA)=2．
    对选项(C)，取则r(A)=r(B)=1，r(A，B)=2．
    对选项(D)，取则r(A，B)=1，r(AT，BT)=2．
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考研数学三

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